Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

t y ' + 2 y = s e n t ,         y π 2 = 1 ,       t > 0

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

t y ' + 2 y = s e n t

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + 2 t μ t   y = μ t   s e n t t

De modo que

d μ t d t = 2 t μ t   ⟹     d μ t μ t = 2 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 2 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

�� d ln ⁡ μ t = ∫ 2 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = ln ⁡ t 2   ⟹   μ t = t 2

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + 2 t μ t   y = μ t   s e n t t   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   s e n t t     ⟹   d   μ t   y =   μ t s e n t t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ t 2 y =   ∫ t 2 s e n t t d t =   ∫ t s e n t d t = s e n t - t c o s t + C

y   = s e n t - t c o s t + C t - 2

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y π 2 = 1 = s e n π 2   - π 2 c o s π 2 + C π 2 - 2

1 = 1 - π 2 ⋅ 0 + C 4 π 2

π 2 4 = 1 + C → C = π 2 4 - 1

y ( t )   =   s e n t - t c o s t + π 2 4 - 1 t - 2

Resposta

y ( t )   =   s e n t - t c o s t + π 2 4 - 1 t - 2

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