Enunciado

Mostre que, se ( N x - M y ) / M = Q , em que Q é uma função só de y , então a equação diferencial

M + N y ' = 0

Tem um fator integrante da forma

μ y = exp ⁡ ∫ Q y d y

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Passo 2

Nosso problema começa assumindo que a função não é uma diferencial exata e que precisamos de um fator integrante para transformá-la em exata.

Assumindo que se

N x - M y M = Q ( y )

Então nosso fator integrante também é uma função só de y . Assim fazendo

μ y M + μ y N y ' = 0

E sabendo que ela é uma diferencial exata agora, temos

d d x μ y N - d d y ( μ y M ) = 0

Resolvendo, temos

μ N x - μ ' M - μ M y = 0

μ N x - M y - μ ' M = 0

Dividindo tudo por M

μ N x - M y M = μ '  

Onde sabemos o que é ( N x - M y ) / M

Assim temos

μ ' ( y ) u ( y ) = Q ( y )

Integrando em y temos

ln ⁡ μ y = ∫ Q y d y

Que implica em

μ y = exp ⁡ ∫ Q y d y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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d y d x = x x 2 y + y 3 Sugestão: Seja u = x 2
x d y d x + 2 y = s e nx x 2 ,y 2 = 1
d y d x + y = 1 1 + e x
d y d x = e 2 x + 3 y
t d y d t + t + 1 y = e 2 t