Enunciado

Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.

x + 2 s e n   y + x cos ⁡ y y ' = 0 ,       μ x , y = x e x

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

x cos ⁡ y d y = - x + 2 s e n   y d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

x + 2 s e n   y d x + x cos ⁡ y d y = 0

Assim temos que

d d y x + 2 s e n   y - d d x x cos ⁡ y

= x + 2 cos ⁡ y - cos ⁡ y ≠ 0

E a forma de transformá-la em exata é utilizando o fator integrante dado da seguinte forma.

μ x , y x + 2 s e n   y d x + μ x , y x cos ⁡ y d y = 0

Assim temos

( x e x x + 2 s e n   y ) d x + x 2 e x cos ⁡ y d y = 0

Agora queremverificar se nossa equação é exata

d d y x e x x + 2 s e n   y - d d x x 2 e x cos ⁡ y = 0

x e x x + 2 cos ⁡ y - 2 x e x cos ⁡ y - x 2 e x cos ⁡ y = 0

Assim ela sendo exata, podemos na busca da nossa solução

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = x e x x + 2 s e n   y

E

d d y Y x , y = x 2 e x cos ⁡ y

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ x 2 e x + 2 e x s e n   y   d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo?

Y x , y = [ e x x 2 - 2 x + 2 + 2 e x ] s e n   y + C y

Se derivarmos, deveríamos obter x 2 e x cos ⁡ y , ou seja

d d y Y x , y = d d y [ e x x 2 - 2 x + 4 ] s e n   y + C y

= [ e x x 2 - 2 x + 4 ] cos ⁡ y + C ' y = x 2 e x cos ⁡ y

Com

C ' y = 2 x - 4 cos ⁡ y

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = 2 x - 4 s e n   y + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = [ e x x 2 - 2 x + 4 ] s e n   y + 2 x - 4 s e n   y + C

= x 2 e x s e n   y + C

Resposta

x 2 e x s e n   y + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

d y d x + 2 y = e - x 2 - 2 x ,y 0 = 3
d y d x = - 3 x 2 y + y 2 2 x 3 + 3 x y
2 y + 3 x = - x d y d x
Considere o problema de valor inicial y ' - 3 2 y = 3 t + 2 e t , y 0 = y 0 Encontre o valor de y 0 que separa as soluções que crescem positivamente quanto t → ∞ das que crescem em módulo, mas permane
Em cada um dos problemas de 34 a 37, construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando t → ∞ . Depois resolva sua equação e confirme que toda