Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução:

x 2 y ″ + 3 x y ' + y = x 2   ,   y ( 1 )   =   0 ,   y ( e )   =   0

Passo 1

Devemos encontrar a solução geral da EDO homogênea, considerando que a parte homogênea é x 2 y ' ' + 3 x y ' + y = 0 do tipo y = x r , então, quando substituímos na equação diferencial:

x 2 r r - 1 x r - 2 + 3 x r x r - 1 + x r = 0

Aplicando os termos corretos, ficamos com:

r r - 1 + 3 r + 1 = 0

A equação terá duas raízes idênticas: r = - 1 .

Para multiplicidade de raízes de k = 2 , existem k - 1 = 1 soluções da forma x m , x m ln ⁡ k k - 1 . Nossa solução homogênea será:

y h = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x

Agora, devemos encontrar a parte não homogênea y p = k x 2 , substituindo na EDO teremos:

A Solução geral será dada por:

y = y h + y p

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + k x 2

Agora, devemos aplicar nas condições de contorno:

Se y 1 = 0 :

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + k x 2

y ( 1 ) = c 1 1 + c 2 1 ln ⁡ 1 + k 1 2

c 1 = - k

A outra condição de contorno será dada por:

y e = 0

y ( e ) = c 1 e + c 2 e ln ⁡ e + k e 2

c 2 = 1 k ( 1 - e 3 )

Substituindo :

y = - k x + 1 k ( 1 - e 3 ) 1 x ln ⁡ x + k x 2

Resposta

y = - k x + 1 k ( 1 - e 3 ) 1 x ln ⁡ x + k x 2

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