Enunciado

Em muitos problemas físicos, o termo não homogêneo pode ser especificado por fórmulas diferentes em períodos de tempo diferentes. Como exemplo, determine a solução y   =   ϕ ( t ) de

y ' ' + y =   t ,       0 ≤ t ≤   π   π e   π - t ,           t >   π

que satisfaz as condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 1 . Suponha, também, que   y e y ' são contínuas em   t   =   π . Faça o gráfico do termo não homogêneo e da solução em função do tempo. Sugestão: Primeiro resolva o problema de valor inicial para t   ≤   π ; depois resolva para t   >   π , determinando as constantes nesta última solução a partir das condições de continuidade em t = π .

Passo 1

Primeiro, temos as condições dadas para:

y ' ' + y = t

0 ≤ t ≤   π

Temos que encontrar a solução homogênea:

y c = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t

Devemos achar a solução específica por meios dos coeficientes indeterminados:

Y = A t + B

Y ' = A

Y ' ' = 0

Substituindo:

0 + A t + B = t

A = 1

B = 0

A solução será dada por:

y = y c + Y

y = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t + t

y ' ' = - c 1 sen ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + t

Podemos resolver c 1 e c 2 , usando as condições iniciais porque elas se encaixam no domínio   0 ≤ 1 ≤   π .

c 1 = 0 = c 2

A solução no domínio:

y t = t

y ' t = 1

Passo 2

A segunda condição é dada quando t > π .

Então a EDO será:

y ' ' + y = π e π e - t

A solução homogênea será :

y c = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t

Então, vamos achar a solução particular:

Y = K e - t

Y ' = - K e - t

Y ' ' = K e - t

Aplicando na EDO:

K = π 2 e π

Y = π 2 e π e - t

A solução para t > π :

y t = a 1 cos ⁡ t + a 2 sen ⁡ t + π 2 e π e - t

y ' t = - a 1 sen ⁡ t + a 2 cos ⁡ t - π 2 e π e - t

Temos que encontrar os valores de a 1 e a 2 :

t = a 1 cos ⁡ t + a 2 sen ⁡ t + π 2 e π e - t

π = a 1 cos ⁡ π + a 2 sen ⁡ π + π 2 e π e - π

π = - a 1 + π 2

a 1 = - π 2

1 = - a 1 sen ⁡ t + a 2 cos ⁡ t - π 2 e π e - t

1 = - a 1 sen ⁡ π + a 2 cos ⁡ π - π 2 e π e - π

1 = - a 2 - π 2

a 2 = - 1 + π 2

A solução será:

y t = - π 2 cos ⁡ t + - 1 + π 2 sen ⁡ t + π 2 e π e - t

Resposta

y ' ' + y =   t ,       0 ≤ 1 ≤   π   - π 2 cos ⁡ t + - 1 + π 2 sen ⁡ t + π 2 e π e - t ,           t >   π

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Nos problemas 27 e 28, use uma identidade trigonométrica como auxílio para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada.28. y ' ' + y = s e nx . cos ⁡ 2 x
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Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.19. y ' ' + 2 y ' + y = s e nx + 3 cos ⁡ 2 x
Nos problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.29. y ' ' + 4 y = - 2 ,y π 8 = 1 2 ,y ' π 8 = 2