Enunciado

Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais.

y ' ' + λ y = 0                     ; y ' 0 = 0 ;   y π = 0

Passo 1

A equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:

y ' ' + μ 2 y = 0

O objetivo é encontrar os autovalores e autofunções do problema de valor limite dado, temos o seguinte autovalor:

y ' ' + λ y = 0

Nesse caso λ = μ 2 .

Com as condições de contorno y ' 0 = 0   e   y π = 0 .

Entretanto, nós desconhecemos λ e não sabemos se o valor é maior ou menor que zero.

Passo 2

Vamos analisar o primeiro cenário, quando consideramos que λ < 0 . Então, nesse caso λ = - μ 2 , então a equação passa a ser:

y ' ' - μ 2 y = 0

Corresponde a eiqação característica :

r 2 - μ 2 = 0

Nesse caso, as raízes da equação serão:

r = ± μ

E a solução geral será : y x = c 1 cosh ⁡ μ x + c 2 senh ⁡ μ x

Quando usamos as condições de contorno, obtemos:

c 1 = c 2 = 0

Portanto, a solução geral é y   =   0 e, portanto, vemos que existem autovalores menores que zero.

Passo 3

O próximo passo, nós consideramos que λ = 0 , e a solução geral será: y x = c 1 x + c 2

y ' x = c 1

Aplicando na primeira condição y ' 0 = 0 :

y ' x = c 1 0 = 0

c 1 = 0

Agora, quando aplicamos a segunda condição de contorno y π = 0 .

Derivando a função temos:

y π = 0

Se c 2 = 0 .

Portanto, a solução geral é y   =   0 e, portanto, vemos que não há autovalores menores que zero.

Passo 4

Vamos analisar o primeiro cenário, quando consideramos que λ > 0 . Então, nesse caso λ = μ 2 , então a equação passa a ser:

y ' ' + μ 2 y = 0

Corresponde a eiqação característica.

E a solução geral será : y x = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x

Agora, aplicamos a segunda condição y ' 0 = 0 .

A derivada da equação será:

y ' x = - μ c 1 sen ⁡ μ x + μ c 2 cos ⁡ μ x

y ' ( 0 ) = - μ c 1 sen ⁡ μ π + μ c 2 cos ⁡ μ π = 0

μ c 2 cos ⁡ μ π = 0

Se:

c 2 = 0

Agora, aplicando a próxima condição de contorno y π = 0 :

y π = c 1 cos ⁡ μ π

0 = c 1 cos ⁡ μ π + 0

Isso vai acontecer se :

cos ⁡ μ π = 0

A função cosseno zera quando:

μ π = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 …

Agora:

μ = 1 2 , 3 2 , 5 2 …

Portanto, podemos montar uma fórmula geral para zerar a função cosseno:

μ n = 2 n - 1 2

Para diversos valores de n = 1 ,   2 ,   …

Então, nossos autovalores serão μ 2 = λ , aplicando no valor que encontramos:

λ = ( μ n ) 2 = 2 n - 1 2 2

Quando   c 2 = 0   e   c 1 ≠ 0 :

y x = c 1 cos ⁡ μ x

y n x = cos ⁡ 2 n - 1 2 x

Resposta

λ = ( μ n ) 2 = 2 n - 1 2 2

y n x = cos ⁡ 2 n - 1 2 x

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