Enunciado

Em cada um dos problemas de 12 a 15 , use o método do Problema 11 para colocar a equação dada na forma p x y ' ' + q x y = 0

x y ' ' + ( 1 - x ) y ' + λ y = 0   ( e q u a ç ã o   d e   L a g u e r r e )

Passo 1

Pela equação diferencial dada nós temos que:

P x = x

Q x = ( 1 - x )

R x = λ

Então o termo multiplicador que deve ser incorporado para colocar na forma dada deve ser igual a:

μ x = 1 x e ∫ 0 x 1 - x x d x

Resolvendo essa integral temos que:

∫ 0 x 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - x

Passo 2

Portanto:

μ x = 1 x e ln ⁡ x - x

Como e a - b = e a / e b então:

μ x = 1 x e ln ⁡ x e x = 1 x x e x = e - x

Passo 3

Então a equação de Laguerre pode ser escrita como:

x e - x y ' ' + e - x λ y = 0

Resposta

μ x = e - x

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Em cada um dos problemas de 6 a 9, encontre os coeficientes da expansão em autofunções da função dada, usando as autofunções normalizadas do Problema 1.
Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado y ' ' + λ y = 0 ,y ' 0 = 0 ,y 1 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado y ' ' + λ y = 0 ,y ' 0 = 0 ,y 1 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado y ' ' + λ y = 0 ,y 0 = 0 ,y ' 1 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado y ' ' + λ y = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 ,y ' 1 + y 1 = 0 ; v e j aaS e ç ã o11.1 ,P r o b l e m a8 çã