Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 14 , encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 1 1 1 2 1 - 1 - 8 - 5 - 3 x  

Passo 1

Descobrindo os autovalores dessa matriz nós teremos:

det ⁡ 1 - r 1 1 2 1 - r - 1 - 8 - 5 - 3 - r = 0

E fazendo essa determinante nós teremos:

1 - r 2 - 3 - r + 2 3 - r + 8 1 - r - 5 1 - r = 0

Isso nos dará a seguinte equação:

r 3 + r 2 - 4 r - 4 = 0

Que tem raízes em

r 1 = 2

r 2 = - 2

r 3 = - 1

Passo 2

Se utilizarmos r = - 1 nós teremos um autovetor igual a:

1 + 1 1 1 2 1 + 1 - 1 - 8 - 5 - 3 + 1 ξ 1 1 ξ 2 1 ξ 3 1 = 0

2 1 1 2 2 - 1 - 8 - 5 - 2 ξ 1 1 ξ 2 1 ξ 3 1 = 0

Que vai nos dar um sistema igual a:

2 ξ 1 1 + ξ 2 1 + ξ 3 1 = 0

2 ξ 1 1 + 2 ξ 2 1 - ξ 3 1 = 0 → ξ 3 1 = 2 ξ 1 1 + 2 ξ 2 1

- 8 ξ 1 1 - 5 ξ 2 1 - 2 ξ 3 1 = 0

Substituindo a relação que está no quadrado nas outras duas nós teremos:

4 ξ 1 1 + 3 ξ 2 1 = 0

4 ξ 1 1 = - 3 ξ 2 1 ( 1 )

Uma solução para essas duas equações será:

ξ 1 = 3 - 4 - 2

Pois ξ 1 1 = 3 e ξ 2 1 = - 4 para solucionar a equação (1) e se jogarmos esses números na equação quadriculada nós encontramos ξ 3 1 = - 2 , o que vai nos dar uma solução para o autovalor r = - 1 igual a:

x 1 = c 1 3 - 4 - 2 e - t

Passo 3

Agora para r = - 2 teremos:

1 + 2 1 1 2 1 + 2 - 1 - 8 - 5 - 3 + 2 ξ 1 2 ξ 2 2 ξ 3 2 = 0

3 1 1 2 3 - 1 - 8 - 5 - 1 ξ 1 2 ξ 2 2 ξ 3 2 = 0

Isso nos dará um sistema igual a:

3 ξ 1 2 + ξ 2 2 + ξ 3 2 = 0

2 ξ 1 2 + 3 ξ 2 2 - ξ 3 2 = 0 → ξ 3 2 = 2 ξ 1 2 + 3 ξ 2 2

- 8 ξ 1 2 - 5 ξ 2 2 - ξ 3 2 = 0

Substituindo a relação na parte quadriculada nas outras duas nós iremos obter:

5 ξ 1 2 + 4 ξ 2 2 = 0 → 5 ξ 1 2 = - 4 ξ 2 2 ( 2 )

E uma solução para esse sistema será:

ξ 2 = 4 - 5 - 7

Pois na equação ( 2 ) vemos que há uma solução em ξ 1 2 = 4 e ξ 2 2 = - 5 e se substituirmos esses valores na relação que está quadriculada, nós encontramos ξ 3 2 = - 7 , nos dando uma solução para o autovalor r = - 2 igual a:

x 2 = c 2 4 - 5 - 7 e - 2 t

Passo 4

Agora para r = 2   teremos a seguinte matriz:

1 - 2 1 1 2 1 - 2 - 1 - 8 - 5 - 3 - 2 ξ 1 3 ξ 2 3 ξ 3 3 = 0

- 1 1 1 2 - 1 - 1 - 8 - 5 - 5 ξ 1 3 ξ 2 3 ξ 3 3 = 0

O que nos dará um sistema igual a:

- ξ 1 3 + ξ 2 3 + ξ 3 3 = 0 → ξ 1 3 = ξ 2 3 + ξ 3 3

2 ξ 1 3 - ξ 2 3 - ξ 3 3 = 0

- 8 ξ 1 3 - 5 ξ 2 3 - 5 ξ 3 3 = 0

Por fim se substituirmos a relação na parte quadriculada na segunda equação nós vamos encontrar:

- 3 ξ 2 3 - 3 ξ 3 3 = 0

ξ 2 3 = - ξ 3 3

Nessa última equação nós encontramos como solução ξ 2 3 = 1 e ξ 3 3 = - 1 e se aplicarmos esses números na relação quadriculada desse passo nós vemos que:

ξ 1 3 = 0

Portanto o autovetor para esse autovalor (r=2) será:

ξ 3 = 0 1 - 1

Nos dando uma solução para esse autovalor igual a:

x 3 = c 3 0 1 - 1 e 2 t

Portanto a solução geral para esse sistema é a soma das soluções pros três autovalores e que será:

x = c 1 3 - 4 - 2 e - t + c 2 4 - 5 - 7 e - 2 t + c 3 0 1 - 1 e 2 t

Resposta

x = c 1 3 - 4 - 2 e - t + c 2 4 - 5 - 7 e - 2 t + c 3 0 1 - 1 e 2 t

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