Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.

13.

ln ⁡ x ,         x 0 = 1

Passo 1

Fala galera!!!

O problema nos forneceu a seguinte função:

f x = ln ⁡ x

no ponto x 0 = 1 .

Nosso objetivo, é obter a série de Taylor da função dada sobre o ponto  x 0 , e também, determinar o raio de convergência da série.

Passo 2

No livro, podemos encontrar que a série de Taylor de uma função  f x sobre o ponto  x 0 é dada por:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 1 1 ! + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 ! + f ' ' ' x 0 x - x 0 3 3 ! + …

Ou seja:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n x 0 n ! x - x 0 n

Passo 3

Tendo em mente o que foi dito acima, vamos calcular os primeiros termos da série de Taylor para a função dada, com o objetivo de encontrar um termo geral que define a série. Assim temos:

f x = ln ⁡ x → f x 0 = ln ⁡ 1 = 0

f ' x = d d x ln ⁡ x = 1 x → f ' x 0 = 1 1 = 1

f ' ' x = d d x 1 x = - 1 x 2 → f ' ' x 0 = - 1 1 2 = - 1

f ' ' ' x = d d x - 1 x 2 = 2 x 3 → f ' ' ' x 0 = 2 1 3 = 2

f 4 x = d d x 2 x 3 = - 6 x 4 → f 4 x 0 = - 6 1 4 = - 6

f 5 x = d d x - 6 x 4 = 24 x 5 → f 5 x 0 = 24 1 5 = 24

A partir desse ponto podemos ver que os termos da série apresentação um padrão.

Passo 4

Assim, temos que a serie fica da seguinte forma:

f x = f 1 + f ' 1 x - 1 1 1 ! + f ' ' 1 x - 1 2 2 ! + f ' ' ' 1 x - 1 3 3 ! + f 4 1 x - 1 4 4 ! + …

Substituindo, temos:

f x = 0 + 1 x - 1 1 1 ! + - 1 x - 1 2 2 ! + 2 x - 1 3 3 ! + - 6 x - 1 4 4 ! + 24 x - 1 5 5 ! + …

f x = 1 x - 1 1 1 + - 1 x - 1 2 1 ⋅ 2 + 2 x - 1 3 2 ⋅ 3 + - 2 ⋅ 3 x - 1 4 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 x - 1 5 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + …

f x = x - 1 1 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 3 - x - 1 4 4 + x - 1 5 5 + …

Logo, podemos escrever a f x da seguinte maneira:

ln ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x - 1 n n

Assim, a representação da série Taylor para a f x é  ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x - 1 n n .

Passo 5

Agora, queremos encontrar o raio de convergência da série que encontramos acima:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x - 1 n n

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 6

Temos que:

a n = - 1 n + 1 x - 1 n n

Então:

a n + 1 = - 1 n + 1 + 1 x - 1 n + 1 n + 1

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 + 1 x - 1 n + 1 n + 1 - 1 n + 1 x - 1 n n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 + 1 x - 1 n + 1 n + 1 ⋅ n - 1 n + 1 x - 1 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 ⋅ - 1 n + 1 x - 1 ⋅ x - 1 n n 1 + 1 n ⋅ n - 1 n + 1 x - 1 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 ⋅ x - 1 1 + 1 n

= lim n → ∞ ⁡ 1 - x 1 + 1 n

= 1 - x lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n

= 1 - x

Ou seja:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 - x

Passo 7

Assim, a série de potências converge absolutamente para 1 - x < 1 . Ou seja:

1 - x < 1

- 2 < - x < 0

0 < x < 2

A série de potências diverge absolutamente para 1 - x > 1

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = 1 .

Resposta

ln ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x - 1 n n

ρ = 1

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