Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6 :

( a ) Encontre a solução geral do sistema de equações dado e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞

( b ) Desenhe um campo de direções e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema

x ' = - 2 1 1 - 2 x

Passo 1

Encontrando os auto valores da matriz nós teremos:

d e t - 2 - r 1 1 - 2 - r = 0

Fazendo a determinante teremos:

- 2 - r - 2 - r - 1 = 0

r 2 + 2 + 2 r + 4 - 1 = 0

r 2 + 4 r + 3 = 0

Então os auto valores serão:

r 1 ; r 2 = ( - 3 , - 1 )

Passo 2

Agora vamos encontrar o autovetor associado ao autovalor r = - 3 . Pois a solução vinda desse autovalor será:

x 1 = c 1 ξ 1 e - 3 t

Onde ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1

- 2 + 3 1 1 - 2 + 3 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Então:

1 1 1 1 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Dessa forma encontramos:

ξ 1 1 = - ξ 2 1

Logo o auto vetor será:

ξ 1 = 1 - 1

Nos dando uma solução igual a:

x 1 = c 1 1 - 1 e - 3 t

Passo 3

Agora o autovetor associado com r = - 1 será:

- 2 + 1 1 1 - 2 + 1 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Onde ξ 2 = ξ 1 2 ξ 2 2

- 1 1 1 - 1 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Onde teremos a relação:

ξ 1 2 = ξ 2 2

Portanto o autovetor associado será:

ξ 2 = 1 1

Nos dando uma solução igual a:

x 2 = c 2 1 1 e - t

E a solução geral desse sistema será:

x = x 1 + x 2 = c 1 1 - 1 e - 3 t + c 2 1 1 e - t

Passo 4

Plotando o campo de direções e suas possíveis soluções nós teremos:

Resposta

a ) x = c 1 1 - 1 e - 3 t + c 2 1 1 e - t

b ) I m a g e m   d o   P a s s o   4

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Em cada um dos problemas de 1 a 4:(a) Desenhe um campo de direções e esboce algumas trajetórias.(b) Descreva como as soluções se comportam quando t→∞ .(c) Encontre a solução geral do sistema de equaçõ
Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 x
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