Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 14:

  1. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.
  2. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y 1 e y 2 (a menos que a série termine antes).
  3. Calculando o wronskiano W y 1 ,   y 2 x 0 , mostre que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções.
  4. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

1 - x y ' ' + x y ' - y = 0 ,     x 0 = 0

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar a forma de série de potências para encontrarmos a solução da nossa EDO. Vamos primeiro supor que a solução seja algo do tipo

y = ∑ n a n ⋅ x - x 0 n

usando as informações dadas no enunciado. Vamos derivar duas vezes essa expressão para encontrarmos y ' e y ' ' e após um bom tempo manipulando as expressões, encontraremos nosso y 1 e y 2 para calcularmos o Wronskiano.

Passo 2

Bom, vamos lá! Pra começar, vamos seguir mais ou menos como foi dito no passo 1. Vamos supor y = ∑ n a n ⋅ x - x 0 n , como já dito, e usar o x 0 dado no enunciado. Assim temos que

y = ∑ n = 0 a n ⋅ x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

Se derivarmos duas vezes, vamos chegar que

y ' = a 1 + 2 ⋅ a 2 ⋅ x + … + n ⋅ a n ⋅ x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n ⋅ a n x n - 1

y ' ' = 2 ⋅ a 2 + … + n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 = ∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2

Substituindo agora na nossa equação inicial, vamos ter que

1 - x ∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 + x ⋅ ∑ n = 1 ∞ n ⋅ a n x n - 1 - ∑ n = 0 a n ⋅ x n = 0

Vamos expandir um pouco essa equação e manipular.

∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 - ∑ n = 1 n ⋅ a n ⋅ x n - 2 - ∑ n = 0 a n ⋅ x n = ∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 1

Precisamos achar um jeito de deixar ambos os lados da igualdade com os mesmos índices na somatória e apenas com o termo x n para encontrarmos a relação de recorrência. Para isso, vamos escrever ∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 como

∑ n = 0 ( n + 2 ) ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 ⋅ x n

e vamos expandir os termos do outro lado da igualdade. Assim, ficaremos com nossa equação na forma

2 a 2 - a 0 + ∑ n = 2 n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 - n + 1 n ⋅ a n + 1 + n a n - a n x n = 0

Para toda essa relação ser verdade, temos que nossa equação de recorrência será

n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 - n + 1 n ⋅ a n + 1 + n - 1 a n = 0 ,     n = 0 , 1,2 , 3 …

Sendo essa a resposta do nosso primeiro item.

Passo 3

Para o segundo item, vamos precisar encontrar as duas soluções y 1 e y 2 para a EDO. Se colocarmos valores para os nossos n na equação de recorrência, vamos chegar que

2 ⋅ a 2 - a 0 = 0

6 ⋅ a 3 - 2 ⋅ a 2 = 0

12 ⋅ a 4 - 6 ⋅ a 3 + a 2

20 ⋅ a 5 - 12 ⋅ a 4 + 2 a 3 = 0

.

.

.

Se formos calculando sucessivamente, vamos chegar que a 3 = a 0 6 ,   a 4 = a 3 2 - a 2 12 = a 0 24 … Podemos ver que para n ≥ 2 , a n será proporcional a a 0 , ou mais especificamente, a n = a 0 n ! Para n ≥ 2 . Assim, nossa solução geral fica

y = a 0 + a 1 x + a 0 ⋅ x 2 2 ! + a 0 ⋅ x 3 3 ! + a 0 ⋅ x 4 4 ! + …

E nossas duas soluções linearmente independentes serão, como da forma y = c 1 y 1 + c 2 y 2

y 2 = x

y 1 = 1 + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! - … = 1 + ∑ n = 2 ∞ x n n ! .

Sendo essa a resposta do segundo item e do ultimo.

Passo 4

Se aplicarmos o wronskiano no ponto x 0 = 0 , teremos que y 1 x 0 = 1 , y 2 x 0 = 0 y 1 ' x 0 = 0 e y 2 ' x 0 = 1 . Assim, fazendo o determinante, temos que o wronskiano da

W y 1 , y 2 x 0 = 1 0 0 1 = 1

sendo então um conjunto fundamental de soluções e a resposta do nosso terceiro item.

Resposta

  1. n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 - n + 1 n ⋅ a n + 1 + n - 1 a n = 0 ,     n = 0,1 , 2,3 …
  2. y 1 = 1 + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! - … = 1 + ∑ n = 2 ∞ x n n ! ,     y 2 = x
  3. W = 1
  4. x n n !
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