Enunciado

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Em cada um dos problemas de 15 a 18:

  1. Encontre os cinco primeiros termos não nulos na solução do problema de valor inicial dado.
  2. Faça gráficos das aproximações da solução com quatro e cinco termos no mesmo conjunto de eixos.
  3. Estime, a partir dos gráficos no item (b), o intervalo no qual a aproximação com quatro termos é razoavelmente precisa.

y ' ' + x y ' + 2 y = 0 ,     y 0 = 4 ,     y ' 0 = - 1 ;

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar a forma de série de potências para encontrarmos a solução da nossa EDO. Vamos primeiro supor que a solução seja algo do tipo:

y = ∑ n a n ⋅ x - x 0 n

Usando as informações dadas no enunciado, vamos derivar duas vezes essa expressão para encontrarmos y ' e y ' ' e depois de encontrarmos a solução, vamos aplicar as condições iniciais para obtermos os quatro primeiros termos não nulos da solução.

Passo 2

  1. Bom, como sugerido pelo próprio enunciado, vamos usar o resultado do problema 7 para facilitar nossas vidas rsrs. Temos que o problema 7 nos dá
  2. y 1 x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1     e       y 2 x = x + ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n .

    Nossa solução geral é então y = a 0 + a 1 ⋅ x + a 2 ⋅ x 2 + … + a n ⋅ x n e y ' = a 1 + 2 ⋅ a 2 ⋅ x + … + n ⋅ a n ⋅ x n - 1 . Se colocarmos y 0 e y ' 0 , teremos que

    y 0 = a 0 = 4

    y ' 0 = a 1 = - 1

    e temos também que y = a 0 ⋅ y 1 + a 1 ⋅ y 2 , assim vamos ter que:

    y = - y 1 + 3 ⋅ y 2

    Expandindo nossa equação nos dá

    y x = 4 - x - 4 x 2 + 1 2 x 3 + 4 3 x 4 + …

    Nos dando que o quarto e quinto termo do polinômio é aproximadamente

    p 4 = 4 - x - 4 x 2 + 1 2 x 3

    p 5 = 4 - x - 4 x 2 + 1 2 x 3 + 4 3 x 4

    Passo 3

  3. Plotando essas duas curvas nos dá o seguinte gráfico.
  4. Passo 4

  5. Observando o gráfico, conseguimos ver que entre - 0,5 < x < 0,5 a aproximação com apenas quatro termos é um tanto quanto precisa por coincidir bem com a de cinco termos.

Resposta

  1. y x = 4 - x - 4 x 2 + 1 2 x 3 + 4 3 x 4 + …

c)   - 0,5 < x < 0,5

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