Enunciado

Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura 0°C para todo t > 0. Encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que α 2 = 1

u ( x , 0 ) = x ,   0 < x < 40

Passo 1

Consultando o problema 9, temos que nesse caso, a condição inicial é dada por

u ( x , 0 ) = x ,   0 < x < 40

Como todos os outros dados são iguais, a solução do problema fornecido é:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 t / 1600 s i n n π x 40

Passo 2

Os coeficientes c n são os coeficientes senoidais de Fourier de u ( x , 0 ) = x .Isso é,

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s i n n π x L d x

c n = 1 20 ∫ 0 40 x   s i n n π x 40 d x =   - 80 c o s   n π n π

Passo 3

Portanto, a solução do problema de condução de calor fornecido é

u ( x , t ) = 80 π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n e - n 2 π 2 t / 1600 s i n n π x 40

Resposta

u ( x , t ) = 80 π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n e - n 2 π 2 t / 1600 s i n n π x 40

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se
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