Enunciado

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Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.

18. f t = t n e a t

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer para encontrarmos a transformada de Laplace é aplicar ela na função que o enunciado deu para a gente:

L t n e a t = ∫ 0 ∞ e - s t t n e a t   d t = ∫ 0 ∞ t n e a - s t   d t

Precisamos substituir o infinito por A e aplicar o limite para A → ∞ , já que se trata de uma integral imprópria:

∫ 0 ∞ t n e a - s t   d t = lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t n e a - s t   d t

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar o método de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar t n de u e e a - s t de d v , ficamos com:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t n e a - s t   d t = l i m A → ∞ t n e a - s t a - s A 0 - ∫ 0 A t n - 1 e a - s t a - s   d t

Para resolver a integral que apareceu, vamos usar de novo a integração por partes, várias vezes, fazendo sempre o polinômio em t ser o u e a exponencial ser d v , a integral resulta em, depois de aplicarmos os limites para cada integração por partes (lembrando que os limites inferiores sempre vão zerar):

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t n e a - s t   d t = lim A → ∞ ⁡ - A n e a - s A s - a - n A n - 1 e a - s A s - a 2 - … - n ! e a - s A - 1 s - a n + 1

Dá para ver que fica um polinômio em relação a A multiplicado pela exponencial e mais um termo que não depende de A :

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t n e a - s t   d t = lim A → ∞ ⁡ p n A e a - s A + n ! s - a n + 1

Passo 3

Para que a parte exponencial tenda a zero e não exploda no infinito quando a → ∞ , precisamos que:

a - s > 0

s < a

Então para um polinômio de grau n , o produto entre ele e a exponencial que tende para zero, vai tender para zero (a demonstração disso é trabalhosa, vamos assumir que isso seja verdadeiro):

lim A → ∞ ⁡ p n A e a - s A = 0

Sobra o seguinte:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t n e a - s t   d t = n ! s - a n + 1

E essa vai ser nossa transformada

L t n e a t = n ! s - a n + 1

Resposta

L t n e a t = n ! s - a n + 1

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