Enunciado

Em cada um dos problemas de 15 a 22:

(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

18.

f x = 1 ,             0 < x < π       s é r i e   e m   s e n o s ,   p e r í o d o   2 π

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = 1 ,             0 < x < π

Queremos encontrar a série de Fourier para senos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar o coeficiente b n para a extensão impar de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular o coeficiente b n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Para este caso, L = π .

Passo 3

Então, temos que b n é o seguinte:

b n = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ n π x π d x

b n = 2 π ∫ 0 π 1 sen ⁡ n x d x

b n = 2 π ∫ 0 π sen ⁡ n x d x

b n = 2 π - 1 n cos ⁡ n x 0 π

b n = 2 π - 1 n cos ⁡ n π + 1 n cos ⁡ 0

b n = 2 π - 1 n cos ⁡ n π + 1 n

b n = 2 n π 1 - cos ⁡ n π

Passo 4

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n π 1 - cos ⁡ n π sen ⁡ n π x π

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n π 1 - cos ⁡ n π sen ⁡ n x

Vamos abrir a série da seguinte maneira:

f x = 2 π 1 - cos ⁡ π sen ⁡ x + 2 2 π 1 - cos ⁡ 2 π sen ⁡ 2 x + 2 3 π 1 - cos ⁡ 3 π sen ⁡ 3 x + 2 4 π 1 - cos ⁡ 4 π sen ⁡ 4 x + 2 5 π 1 - cos ⁡ 5 π sen ⁡ 5 x + …

f x = 2 π 1 + 1 sen ⁡ x + 2 2 π 1 - 1 sen ⁡ 2 x + 2 3 π 1 + 1 sen ⁡ 3 x + 2 4 π 1 - 1 sen ⁡ 4 x + 2 5 π 1 + 1 sen ⁡ 5 x + …

f x = 4 π sen ⁡ x + 4 3 π sen ⁡ 3 x + 4 5 π sen ⁡ 5 x + …

Podemos perceber que a serie apresenta apenas os termos impares. Assim, podemos rescrever a somatório da seguinte maneira:

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 2 n - 1 π sen ⁡ 2 n - 1 x

f x = 4 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1

Passo 5

(b) Esboce o gráfico da função na qual a série converge em três períodos.

Resposta

f x = 4 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1

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