Enunciado

Em cada um dos problemas de 23 a 26:

(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

(c) Faça o gráfico de uma ou mais somas parciais da série.

23.

f x = x , 0 ,                 0 < x < π π < x < 2 π       s é r i e   e m   c o s s e n o s ,   p e r í o d o   4 π

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = x , 0 ,                 0 < x < π π < x < 2 π

Queremos encontrar a série de Fourier para cossenos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar os coeficientes a 0 e a n para a extensão par de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular os coeficientes a 0 e a n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x                           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Para este caso, L = 2 π .

Passo 3

Podemos calcular a 0 da seguinte maneira:

a 0 = 2 2 π ∫ 0 2 π f x d x

a 0 = 1 π ∫ 0 π x d x + 1 π ∫ π 2 π 0 d x

a 0 = 1 π ∫ 0 π x d x

a 0 = 1 π x 2 2 0 π = π 2

Passo 4

Então, temos que a n é o seguinte:

a n = 2 2 π ∫ 0 2 π f x cos ⁡ n π x 2 π d x

a n = 1 π ∫ 0 π x cos ⁡ n x 2 d x + 2 2 π ∫ π 2 π 0 cos ⁡ n x 2 d x

a n = 1 π ∫ 0 π x cos ⁡ n x 2 d x

a n = 1 π 2 x n sen ⁡ n x 2 + 2 n 2 cos ⁡ n x 2 0 π

a n = 1 π 2 π n sen ⁡ n π 2 + 2 n 2 cos ⁡ n π 2 - 0 sen ⁡ 0 + 2 n 2 cos ⁡ 0

a n = 1 π 2 π n sen ⁡ n π 2 + 4 n 2 cos ⁡ n π 2 - 4 n 2

a n = 2 n sen ⁡ n π 2 + 4 n 2 π cos ⁡ n π 2 - 1

Passo 5

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier de f x é a seguinte:

f x = π 4 + ∑ n = 1 ∞ 2 n sen ⁡ n π 2 + 4 n 2 π cos ⁡ n π 2 - 1 cos ⁡ n x 2

Passo 6

(b) Podemos esboçar o gráfico da função para 3 períodos da seguinte maneira:

Resposta

f x = π 4 + ∑ n = 1 ∞ 2 n sen ⁡ n π 2 + 4 n 2 π cos ⁡ n π 2 - 1 cos ⁡ n x 2

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