Enunciado

Em cada um dos problemas de 15 a 22:

(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

21.

f x = L - x ,             0 ≥ x ≥ L       s é r i e   e m   c o s s e n o s ,   p e r í o d o   2 L  

Compare com o Exemplo da seção 10.2.

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = L - x ,             0 ≥ x ≥ L

Queremos encontrar a série de Fourier para cossenos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar os coeficientes a 0 e a n para a extensão par de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular os coeficientes a 0 e a n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x                           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Para este caso, L = L .

Passo 3

Podemos calcular a 0 da seguinte maneira:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

a 0 = 2 L ∫ 0 L L - x d x

a 0 = 2 L L x - x 2 2 0 L = 2 L L 2 - L 2 2 = L

Passo 4

Então, temos que a n é o seguinte:

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

a n = 2 L ∫ 0 L L - x cos ⁡ n π x L d x

a n = 2 ∫ 0 L cos ⁡ n π x L d x - 2 L ∫ 0 L x cos ⁡ n π x L d x

a n = 2 L n π sen ⁡ n π x L 0 L - 2 L L x n π sen ⁡ n π x L + L n π 2 cos ⁡ n π x L 0 L

a n = 2 L n π sen ⁡ n π - L n π sen ⁡ 0 - 2 L L 2 n π sen ⁡ n π + L n π 2 cos ⁡ n π - 0 sen ⁡ 0 + L n π 2 cos ⁡ 0

Temos que sen ⁡ n π sempre será 0 , temos também que sen ⁡ 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 .

a n = - 2 L L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - L 2 n 2 π 2

a n = 2 L n 2 π 2 1 - cos ⁡ n π

Passo 5

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 1, temos que a série de Fourier de f x é a seguinte:

f x = L 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 L n 2 π 2 1 - cos ⁡ n π cos ⁡ n π x L

Vamos abrir a série da seguinte maneira:

f x = L 2 + 2 L 1 2 π 2 1 + 1 cos ⁡ n π x L + 2 L 2 2 π 2 1 - 1 cos ⁡ n π x L + 2 L 3 2 π 2 1 + 1 cos ⁡ n π x L + 2 L 4 2 π 2 1 - 1 cos ⁡ n π x L + 2 L 5 2 π 2 1 + 1 cos ⁡ n π x L + …

f x = L 2 + 4 L 1 2 π 2 cos ⁡ n π x L + 4 L 3 2 π 2 cos ⁡ n π x L + 4 L 5 2 π 2 cos ⁡ n π x L + …

Podemos perceber que quando n é par o termo fica zero, assim, temos o seguinte:

f x = L 2 + ∑ n = 1 ∞ 4 L 2 n - 1 2 π 2 cos ⁡ 2 n - 1 π x L

f x = L 2 + 4 L π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 cos ⁡ 2 n - 1 π x L

Portanto, a solução necessária é:

f x = L 2 + 4 L π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 cos ⁡ 2 n - 1 π x L

Passo 6

(b) Podemos esboçar o gráfico da função da seguinte maneira:

Resposta

f x = L 2 + 4 L π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 cos ⁡ 2 n - 1 π x L

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