Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 22, encontre a solução do problema de valor inicial. Esboçe o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t .

y ' ' + y + 1,25 y = 0 ,               y 0 = 3 ,         y ' 0 = 1

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + y + 1,25 y = y ' ' + y + 5 4 y = r 2 e r t + r e r t + 5 4 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + r + 5 4 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = - 1 2 ± i

Tendo como solução

y = e - t 2 c 1 e i t + c 2 e - i t

Outra forma de escrevermos nossa solução é utilizando uma transformação pela fórmula de Euler e tomar

y = e - t / 2 ( C 1 cos ⁡ t + C 2   s e n   t )

Perceba que C 1 e C 2 são diferentes de c 1 e c 2 .

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

y ( t ) = e - t / 2 ( C 1 cos ⁡ t + C 2   s e n   t )

E

y ' = e - t / 2 - 1 2 C 1 cos ⁡ t + C 2   s e n   t - C 1   s e n   t + C 2 cos ⁡ t

onde

y 0 = C 1 = 3

E

y ' 0 = - 1 2 3 cos ⁡ 0 + C 2   s e n   0 - 3   s e n   0 + C 2 cos ⁡ 0 = 1

Na qual

C 2 = 1 + 3 2 = 5 2

Assim temos que nossa solução geral é dada por

y ( t ) = e - t 2 3 cos ⁡ t + 5 2   s e n   t

O que temos é uma função que oscila em torno de t . Se aumentarmos o valores de t , teremos que y decai. Logo temos um oscilador amortecido.

Passo 4

O gráfico da solução geral fica assim:

Os máximos são cada vez mais maiores quando vamos para esquerda e os mínimos cada vez menores. Conforme x aumento, nos aproximamos de zero.

Resposta

y ( t ) = e - t 2 3 cos ⁡ t + 5 2   s e n   t

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