Enunciado

Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à sua área de superfície. Escreva uma equação diferencial para o volume de uma gota de chuva em função do tempo.

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Além disso, para esse caso especifico, vamos precisar saber o quanto vale a área superficial de uma esfera. Temos que ela é dada pela integral de uma rotação de uma circunferência e é dada por

A s = 4 ⋅ π ⋅ R 2

Vamos juntos para resolver!!

Passo 2

Bom, o enunciado nos diz algumas informações sobre o problema. Ele nos diz que a taxa de evaporação é dada por uma proporcionalidade com a área superficial. Um jeito de escrevermos isso matematicamente é

d V d t ∝ A s

ou

d V d t = - k ⋅ A s = - k ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R 2

Porém, precisamos deixar tudo em termos de V . Temos que o volume de uma esfera é dado por V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 → V 2 3 = 4 3 ⋅ π 2 3 ⋅ R 2 . Logo

R 2 = V 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ π - 2 3

Juntando todos os valores constantes para uma nova constante C , temos que nossa equação diferencial fica:

d V d t = - C V 2 3

Onde o sinal negativo simboliza a perca do volume com o tempo.

Resposta

d V d t = - C ⋅ V 2 3

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