Enunciado

Determinado remédio está sendo injetado na veia de um paciente hospitalizado. O líquido, contendo 5   m g / c m 3 do remédio, entra na corrente sanguínea do paciente a uma taxa de 100   c m 3 / h . O remédio é absorvido pelos tecidos do corpo, ou deixa a corrente sanguínea de outro modo, a uma taxa proporcional à quantidade presente, com um coeficiente de proporcionalidade igual a 0,4   h - 1 .

  1. Supondo que o remédio está sempre distribuído uniformemente na corrente sanguínea, escreva uma equação diferencial para a quantidade de remédio presente na corrente sanguínea em qualquer instante de tempo.
  2. Quanto remédio continua presente na corrente sanguínea após muito tempo?

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Além disso, para esse caso especifico, vamos precisar nos atentar sobre a taxa constante de entrada do remédio e para a taxa de absorção do corpo. Vamos juntos!!

Passo 2

Letra (a):

Bom, o enunciado nos diz que a taxa com que o remédio é aplicado é constante. Ele nos fala que a quantidade de remédio que temos e a taxa que entra na corrente é, respectivamente, 5   m g / c m 3 e 100   c m 3 / h . Se multiplicarmos os valores, teremos a taxa de remédio por hora que é inserido na corrente sanguínea. Porém, o problema também nos fala de uma quantidade que é absorvida ou eliminada pelo organismo. Essa taxa é dada por uma constante de proporcionalidade vezes a quantidade de remédio no organismo. Em outras palavras, temos que nossa equação diferencial que descreve a taxa de remédio é dada por

d μ d t = 500 - k ⋅ μ

d μ d t = 500 - 0,4 ⋅ μ   ( m g / h )

Passo 3

Letra (b):

Pelo campo de direções, podemos ver que o valor para onde tende nossa equação diferencial é o valor de 1250   m g . Ou seja, depois de um tempo t alto, resta na corrente sanguínea o valor de 1250   m g do remédio.

Resposta

a) d μ d t = 500 - 0,4 ⋅ μ   ( m g / h )

b) 1250   m g

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Ache uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada. d y d x = 1 + 2 y cotg ⁡ x ; y = 2 quando x = 1 4 π .
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Os Exercícios de 75 a 81 pertencem à Secção Suplementar 7.8. Nos Exercícios 75 e 76, ache a solução completa da equação diferencial. 76 ) d x d y + 2 x . c o t gy = s e c ²y ²
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