Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

25.

x   +   2 2 ( x   –   1 ) y ″   +   3 ( x   –   1 ) y '   -   2 ( x   +   2 ) y   =   0  

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x   +   2 2 ( x   –   1 ) y ″   +   3 ( x   –   1 ) y '   -   2 ( x   +   2 ) y   =   0  

Nossa função P é

P x = x   +   2 2 ( x   –   1 )

Com isso nossos pontos singulares são

x =   1

E

x =   - 2

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade desses pontos agora, começando por   x = - 2

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → - 2 ⁡ x + 2 3 ( x   –   1 ) x   +   2 2 ( x   –   1 )

lim x → - 2 ⁡ 3 x   +   2

=   ∞

Logo como esse ponto explodiu para o infinito, assim esse ponto é irregular. Agora vamos testar o outro ponto, x   =   1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 1 ⁡ x - 1 3 ( x   –   1 ) x   +   2 2 ( x   –   1 )

= 0

Show esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P  

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 -   2 ( x   +   2 ) x   +   2 2 ( x   –   1 )  

lim x → 1 ⁡ -   2 x - 1 x   +   2  

= 0

Como esses dois limites existem, sabemos então que x = 1   é um ponto regular.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Nossos pontos singulares são

x =   1 → Regular

E

x =   - 2 → Irregular

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

12 - d x d t = 2 - 5 2 9 5 - 1 x
19 - Neste problema, vamos indicar como mostrar que as trajetórias são elipses quando osautovalores são imaginários puros. Considere o sistema: x y = a 11 a 12 a 21 a 22 x y (a)Mostre que os autovalor
18 - Considere o sistema x ' = A x e suponha que A tem um autovalor nulo.(a) Mostre que d e t A = 0 .(b) Mostre que x = 0 é um ponto crítico e que, além disso, todo ponto pertencente adeterminada reta
Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano. .
Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano. .