Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

7)

d x d t = 1 - y ,   d y d t = x 2 - y 2

Passo 1

Primeiramente iremos , formar a matriz de Jacobian, e aplicar os pontos críticos a ela fazer a analise necessária .

b)Primeiramente note que:

F x , y = 1 - y

E

G x , y = x 2 - y 2

Aplicando a matriz de Jacobian no campo de vetores temos:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 0 - 1 2 x - 2 y

Passo 2

Aplicando o ponto de origem, 1,1 , para obtermos a matriz linear do sistema:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 0 - 1 2 ∙ 1 - 2 ∙ 1

J 1,1 = 0 - 1 2 - 2

Passo 3

Aplicando para o ponto crítico - 1,1 :

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 0 - 1 2 ∙ - 1 - 2 ∙ 1

J - 1,1 = 0 - 1 - 2 - 2

Resposta

J 1,1 = 0 - 1 2 - 2

J - 1,1 = 0 - 1 - 2 - 2

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