Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

6)

d x d t = x - x 2 - x y ,   d y d t = 3 y - x y - 2 y 2

Passo 1

Temos a resposta da letra b, portanto vamos executar e encontrar os autovalores para cada matriz e fazer sua analise.

c)

J 0,0 = 1 0 0 3

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = 1 0 0 3 - r 0 0 r

d e t J - r I = 1 - r 0 0 3 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 - 4 r + 3

Tendo as razies características como:

r 1 = 3 ,       r 2 = 1

Os autovalores reais e positivos. Portanto, nós temos um nó, ocasionando um sistema instável

Passo 2

J 0,3 / 2 = - 0,5 0 - 1,5 - 3

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = - 0,5 0 - 1,5 - 3 - r 0 0 r

d e t J - r I = - 0,5 - r 0 - 1,5 - 3 - r

Efetuando o determinante temos:

2 r 2 + 7 r + 3 2

Tendo as razies características como:

r 1 = - 1 2 ,     r 2 = - 3

Temos autovalores reais e negativos. Portanto, temos um nó e ocasionando que o sistema é assintoticamente estável.

Passo 3

J 1,0 = - 1 - 1 0 - 2

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = - 1 - 1 0 - 2 - r 0 0 r

d e t J - r I = - 1 - r - 1 0 - 2 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 + 3 r + 2

Tendo as razies características como:

r 1 = - 1 ,       r 2 = - 2

Temos autovalores negativos e reais. Portanto, temos um nó e ocasionando que o sistema é assintoticamente estável.

Passo 4

J - 1,2 = 1 1 - 2 - 4

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = 1 1 - 2 - 4 - r 0 0 r

d e t J - r I = 1 - r 1 - 2 - 4 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 + 3 r - 2

Tendo as razies características como:

r 1 = - 3 + 17 2 ,       r 2 = - 3 - 17 2

Os dois autovalores são reais com sinais diferentes. Portanto nós temos uma sela no ponto, que é instável.

Resposta

Os autovalores reais e positivos. Portanto, nós temos um nó, ocasionando um sistema instável

Temos autovalores negativos e reais. Portanto, temos um nó e ocasionando que o sistema é assintoticamente estável.

Temos autovalores negativos e reais. Portanto, temos um nó e ocasionando que o sistema é assintoticamente estável.

Os dois autovalores são reais com sinais diferentes. Portanto nós temos uma sela no ponto, que é instável.

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