Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

10)

d x d t = x + x 2 + y 2 ,   d y d t = y - x y

Passo 1

Primeiramente iremos , formar a matriz de Jacobian, e aplicar os pontos críticos a ela fazer a analise necessária .

b)Primeiramente note que:

F x , y = x + x 2 + y 2

E

G x , y = y - x y    

Aplicando a matriz de Jacobian no campo de vetores temos:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 + 2 x 2 y - y 1 - x

Passo 2

Aplicando o ponto de origem, 0 , 0 , para obtermos a matriz linear do sistema:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 + 2 ∙ 0 2 ∙ 0 - 0 1 - 0

J 0 , 0 = 1 0 0 1

Passo 3

Aplicando para o ponto crítico - 1 , 0 :

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 + 2 ∙ - 1 2 ∙ 0 - 0 1 - - 1

J - 1 , 0 = - 1 0 0 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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