Enunciado

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   m 2   =   1 ,   k 1   =   k 2   =   k 3   =   1 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe

gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos

planos y 1 y 3   e y 2 y 4 .

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   – 1 ,   3 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Você acha que a

solução é periódica? Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 .

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

d)

Recomendo fortemente que você abra o item (c) desta questão para acompanha visualmente todas a citações que estamos fazendo durante está questão.

Todas as fases do nosso sistema possui quatro dimensões, e cada solução, obtemos a parcela particular dos valores para c 1 , c 2 , c 3 , c 4 na equação da solução geral, que corresponde a trajetória do espaço.

Nós podemos mostrar que as projeções de certas trajetórias no plano y 1 y 3 → y 2 y 4 , assim podemos mostrar separadamente cada movimento.

Os dois primeiros termos do lado direito da solução geral do sistema está movimentando com uma frequência de 1 a 2 π de período. Note que y 1 = y 2 e nestes termos temos também que y 3 = y 4 . Se nós focarmos a solução u 1 t e plotarmos y 1 versus t e y 2 versus t no mesmo eixos, nós iriamos obter os mesma consignação de gráficos de amplitude 1.

A trajetória da primeira massa no plano y 1 y 3 e segunda massa no plano y 2   y 4 será igual e mesma posição no circulo de raio 1 atravessando o sentindo anti-horário e começando no ponto 1,0 e completando o circuito no período ou tempo 2 π . A origem é o centro do planos y 1 y 3 e y 2 y 4 .

Podemos ter gráficos similares que obtivemos da função v 1 ou tendo a mesma combinação linear de u 1 e v 1 .

Temos também que os termo do lado direito da solução geral que temos, estes termos estão referentes a frequência 3 e o período 2 3 π .

Observe que neste caso, temos y 2 = - y 1 e y 4 = - y 3 .

Passo 2

Após toda essa explanação vamos aos gráficos que citamos, primeiramente desenhando o gráfico de y 1 versus t e y 2 versus t . Note que eles são iguais:

Passo 3

Executando a superposição dos projetos e trajetórias dos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 para a solução de u 1 t .

Passo 4

Executando o gráfico de y 1 versus t e y 2 × t para solução u 2 t .

Passo 5

A superposição das projeções e trajetórias nos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 para a solução u 2 t .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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