Enunciado

Em cada um dos problemas de 19 e 20, determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y   =   t r ,   p a r a   t > 0 .

t 2 y ' ' + 4 t y ' + 2 y = 0

Passo 1

Para resolvermos esse tipo de questão basta derivarmos as possíveis soluções de acordo com a ordem da edo e depois substituir na equação para analisarmos qual r vai atender a edo.

Seja y   =   t r ,   então :

y ' = r t r - 1

y ' ' = r r - 1 t r - 2

Substituindo na equação :

t 2 r r - 1 t r - 2 + 4 t r t r - 1 + 2 t r = 0 ⟹ t r r 2 + 3 r + 2 = 0

Como t r   ≠ 0 ,   r =   - 1   e   r =   - 2   são as soluções

Resposta

r =   - 1   e   r =   - 2

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Ache a solução geral.j) d s d t - 2 s = e 2 t
Ache a solução geral.e) d x d t - 2 x = e 2 t
Ache a solução geral.r) d y d x = y + cos ⁡ 3 x
Ache a solução geral.l) d q d t + q = c o s3 t
Ache a solução geral.p)5 d y d x - 10 y = e 3 x