Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

d r d θ   =   r 2 /   θ , r ( 1 ) = 2

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem r de um lado e tudo que tem θ do outro lado.

Assim, temos:

d r r 2   =   d θ /   θ

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d r r 2 =   ∫ d θ /   θ

- 1 r + c =   ln  θ   +   c '  

- 1 r =   ln θ   +   C  

r = - 1 ( ln  θ   +   C )

No enunciado há uma informação de que r ( 1 ) = 2 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

r = - 1 ( ln  θ   +   C )

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

2 = - 1 ( ln   1   +   C )

C   = - 1 / 2

Assim, a equação é:

r = - 1 ( ln  θ   -   1 / 2 )

Simplificando:

r = 2 ( 1 - 2 ln  θ   )

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

r = 2 (1 - 2 ln  θ   )

Assim, temos:

Para saber o intervalo, precisamos garantir que o denominador seja diferente de zero.

Assim, quando 1 - 2 ln  θ  ≠ 0 →  2ln θ  ≠ 1  →   ln  θ  ≠ 1/2 →  θ  ≠ √e 

Assim, o intervalo em que a dolução está definida é com:

0 <   θ   <   √e

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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