Enunciado

Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.

23. y ' ' + 4 y ' + 3 y = 0 , t 0 = 1 .

Passo 1

Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação dada pelo enunciado, a solução é do tipo:

y ( t ) = e r t

Substituindo ela e suas derivadas na equação a gente fica com:

r 2 e r t + 4 r e r t + 3 e r t = 0

Tirando e r t como fator comum, e passando para o outro lado:

e r t r 2 + 4 r + 3 = 0

r 2 + 4 r + 3 = 0

Passo 2

Agora resolvemos a equação usando a fórmula de Bhaskara:

r = - 4 ± 16 - 12 2

r = - 2 ± 1

r 1 = - 1

r 2 = - 3

Como as raízes são diferentes, a solução geral vai ser:

y t = c 1 e - t + c 2 e - 3 t

Passo 3

Precisamos verificar se a solução forma um conjunto fundamental, para podermos calcular as soluções fundamentais, para isso calculamos o wronskiano das duas soluções:

W e - t ,   e - 3 t = d e t e - t e - 3 t - e - t - 3 e - 3 t

Resolvendo o determinante:

W e - t ,   e - 3 t = e - t - 3 e - 3 t - ( - e - t ) ( e - 3 t )

W e - t ,   e - 3 t = - 3 e - 4 t + e - 4 t = - 2 e - 4 t

Como W ≠ 0 então as funções formam um conjunto

Passo 4

Substituindo a condição inicial dada na questão ( t 0 = 0 ) e usando o teorema 3.2.5, teremos duas soluções y 1 e y 2 que satisfazem as condições iniciais e serão as soluções fundamentais que estamos procurando:

y 1 1 = c 1 e - ( 1 ) + c 2 e - 3 1 = 1

y 1 = c 1 e - 1 + c 2 e - 3 = 1

y 1 ' 1 = - c 1 e - 1 - 3 c 2 e - 3 1 = 0

y 1 ' 1 = - c 1 e - 1 - 3 c 2 e - 3 = 0

y 2 1 = c 1 e - 1 + c 2 e - 3 = 0

y 2 ' ( 1 ) = - c 1 e - 1 - 3 c 2 e - 3 = 1

Lembrando que os 0 e os 1 para y 1 e y 2 e suas derivadas vêm do teorema que usamos.

Passo 5

As constantes vão ser, para y 1 :

c 1 = - e 3 2

c 2 = 3 e 2

E para y 2 :

c 1 = - e 3 2

c 2 = e 2

As soluções fundamentais então vão ser:

y 1 = - 1 2 e - 3 t - 1 + 3 2 e - t - 1

E

y 2 = - 1 2 e - 3 t - 1 + 1 2 e - t - 1

Resposta

y 1 = - 1 2 e - 3 t - 1 + 3 2 e - t - 1

y 2 = - 1 2 e - 3 t - 1 + 1 2 e - t - 1

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