Enunciado

Se y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial t ⋅ y ' ' + 2 ⋅ y ' + t ⋅ e t ⋅ y = 0 e se W y 1 ,   y 2 1 = 2 , encontre o valor de W y 1 ,   y 2 5 .

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar e rearranjar a equação, quando necessário na forma

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

onde poderemos utilizar a forma do wronskiano em que aparece a integral, escrito da seguinte forma

W = C ⋅ e - ∫ p t d t

Após isso iremos aplicar no próprio wronskiano, os valores de t para encontrarmos a constante C e o valor para o t pedido.

Passo 2

Aplicando o método mostrado no passo 1, temos que não será necessário nem reorganizar nossa EDO, conseguimos identificar perfeitamente nosso P t = 2 t . Substituindo no wronskiano, temos então que:

W = C ⋅ e - ∫ 2 t d t = C ⋅ e - 2 ⋅ ln ⁡ t = C ⋅ t - 2

Como temos o valor do wronskiano para t = 1 , podemos encontrar qual o valor da constante. Temos então que:

W 1 = 2 = C ⋅ 1 - 2

C = 2

Assim, nossa equação nos dá que

W t = 2 t 2

Agora para t = 5 , temos que nosso wronskiano nos dará

W 5 = 2 25

Resposta

W 5 = 2 25

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