Enunciado

Em cada um dos Problemas 23 e 24:

A - Encontre os Autovalores do sistema dado.

B - Escolha um ponto inicial (diferente da origem) e desenhe as trajetórias correspondentes no plano x 1 x 2 . Desenhe, também, as trajetórias nos planos x 1 x 3 e x 2 x 3

C - Para o ponto inicial do item b desenhe a trajetória correspondente no espaço x 1 x 2 x 3

24.

X ' = - 1 4 1 0 - 1 - 1 4 0 0 0 1 10 X

Passo 1

L e t r a   A :

A primeira coisa que deve ser feita aqui é determinar a solução desse sistema!

Montando a matriz dos coeficientes A baseado no sistema então, obteremos:

A = - 1 4 1 0 - 1 - 1 4 0 0 0 1 10

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores λ de uma matriz são do tipo:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair λ na diagonal principal da matriz A , veja:

det ⁡ - 1 4 - λ 1 0 - 1 - 1 4 - λ 0 0 0 1 10 - λ = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

  ⁡ - 1 4 - λ 1 0 - 1 - 1 4 - λ 0 0 0 1 10 - λ - 1 4 - λ 1   - 1 - 1 4 - λ   0 0   = 0     →

1 10 - λ - 1 4 - λ 2 + 1 10 - λ = 0

Simplificando isso aí...

1 10 - λ - 1 4 - λ 2 + 1 = 0   →

Essa equação só pode ser 0 quando...

1 10 - λ = 0       o u         - 1 4 - λ 2 + 1 = 0

Então, se a solução dessa equação é um desses valores aqui:

λ 1 = 1 10 ,             λ 2 = - 1 4 ± i      

Onde i é o número imaginário - 1 .

O conjunto de soluções fundamentais x k para cada um deles vão ser:

  • Para o λ 1 que é real e único...
  • x 1 = v 1 e λ 1 t

  • Para λ 2 que é um número complexo conjugado...

x 2 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sin ⁡ b t

x 3 = e a t α → sin ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

a e b vem do autovalor complexo:

λ = a ± b i

No nosso caso:

λ 2 = - 1 4 ± i         →                 a = - 1 4             e         b = 1

Portanto...

x 2 = e - 1 4 α → cos ⁡ t - β → sin ⁡ t

x 3 = e - 1 4 α → sin ⁡ t + β → cos ⁡ t

α → e β → vem do autovetor v → complexo ( α → é a parte real e β → o imaginário). Vamos então determinar todos esses autovetores v → !

Passo 3

L e t r a   B :

AUTOVETOR 1 - REAL:

A - λ 1 I v 1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

A - λ 1 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

- 1 4 - λ 1 1 0 - 1 - 1 4 - λ 1 0 0 0 1 10 - λ a b c = 0

Como λ 1 = 1 10 ...

- 1 4 - 1 10 1 0 - 1 - 1 4 - 1 10 0 0 0 0 a b c = 0   →

- 7 4 1 0 - 1 - 7 4 0 0 0 0 a b c = 0   →

Resolvendo esse produto matricial aí...

- 7 4 a + b = 0 - a - 7 4 b = 0 0 = 0

Perceba que a e b são 0 . Mas o c é um número livre pra ser quem ele quiser. Se escolhermos c = 1 , o autovetor será então...

v 1 = 0 0 1

Passo 4

AUTOVETOR 2 - COMPLEXO:

Agora sim vamos ver quem são aqueles α e β que te fale ali no passo retrasado! Mas não s e preocupe, a forma de se resolver basicamente é a mesma (a diferença é que são números complexos agora!):

A - λ 2 I v 2 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Onde a , b e c são os valores complexos das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

A - λ 2 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

- 1 4 - λ 1 1 0 - 1 - 1 4 - λ 1 0 0 0 1 10 - λ a b c = 0

Como λ 2 = - 1 4 ± i (por vias de cálculo, podemos trabalhar apenas com o lado positivo, oi seja, λ 2 = - 1 4 + i )...

i 1 0 - 1 i 0 0 0 1 10 + 1 4 - i a b c = 0   →

Resolvendo esse produto matricial aí...

a i + b = 0 - a + b i = 0 c 7 4 - i = 0

Da última equação...

c = 0

Da segunda ou da primeira...

- a + b i = 0             →         a = i b

E agora escolher algum valor para b , tipo b = 1 , perceba que c = 0 . Então...

a = i

Ou seja...

v 2 = i 1 0

Separando esse vetor em parte real e parte complexa...

v 2 = 0 1 0 + 1 0 0 i

A parte real é o α :

α → = 0 1 0

Já a parte imaginária...

β → = 1 0 0

Passo 5

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x 1 = v 1 e 1 10 t

x 2 = e - 1 4 t α → cos ⁡ t - β → sin ⁡ t

x 3 = e - 1 4 t α → sin ⁡ t + β → cos ⁡ t

Substituindo...

x 1 = 0 0 1 e 1 10 t

x 2 = e - 1 4 t 0 1 0 cos ⁡ t - 1 0 0 sin ⁡ t

x 3 = e - 1 4 t 0 1 0 sin ⁡ t + 1 0 0 cos ⁡ t

A solução final é então dada pela expressão:

x y z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3   →

x y z = c 1 0 0 1 e 1 10 t + c 2 e - 1 4 t 0 1 0 cos ⁡ t - 1 0 0 sin ⁡ t + c 3 e - 1 4 t 0 1 0 sin ⁡ t + 1 0 0 cos ⁡ t       →

x y z = c 1 0 0 1 e 1 10 t + c 2 e - 1 4 t 0 1 0 cos ⁡ t - c 2 e - 1 4 t 1 0 0 sin ⁡ t + c 3 e - 1 4 t 0 1 0 sin ⁡ t + c 3 e - 1 4 t 1 0 0 cos ⁡ t     →

x = - c 2 e - 1 4 t sin ⁡ t + c 3 e - 1 4 t cos ⁡ t y = c 2 e - 1 4 t cos ⁡ t + c 3 e - 1 4 t sin ⁡ t z = c 1 e 1 10 t

Passo 6

Beleza! Então com isso a gente tem a solução do nosso problema. Para resolver a letra B de fato, precisamos chutar uma condição inicial para então desenhar nos planos as curvas.

Não podemos chutar a origem, mas que tal:

x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 1 ,   0 ,   0

Assim...

x 0 = - c 2 e 0 sin ⁡ 0 + c 3 e 0 cos ⁡ 0 y 0 = c 2 e 0 cos ⁡ 0 + c 3 e 0 sin ⁡ 0 z 0 = c 1 e 0

Então, como e 0 = 1 , enquanto o seno de 0 é 0 e o cosseno 1 ...

x 0 = c 3 y 0 = c 2 z 0 = c 1         →

c 3 = 1 ,           c 2 = 0           e             c 1 = 0

Ou seja, a solução para o nosso ponto inicial é:

x = e - 1 4 t cos ⁡ t y = e - 1 4 t sin ⁡ t z = 0

Passo 7

Se usarmos um software de gráfico para desenhar essas curvas paramétricas aí, no plano x y , ou x 1 x 2 como o exercício chamou, vamos obter...

Já no plano x z , como z = 0 duranto todo o t , é como se olhássemos de lado para uma folha de papel: só veríamos uma reta no z = 0 :

O mesmo vai ser no plano y z :

Passo 8

Se a gente juntar mentalmente essas três figuras o que você acha que vai dar? Faça essa pergunta para treinar a sua visão em 3D . Aqui vai a resposta:

Resposta

Letra A: λ 1 = - 1 4         e         λ 2 = - 1 4 ± i

Letra B:

Letra C:

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