Enunciado

Determine se a função dada é par, ímpar, ou nenhuma das duas.

x 3 - 2 x

Passo 1

Nosso primeiro passo para resolver o exercício é relembrar o conceito de função par e função ímpar.

Uma função par é uma equação em que:

f x = f ( - x )

Para todo x contido no domínio de f .

Por outro lado, uma função ímpar é definida como:

f x = - f ( - x )

Para todo x contido no domínio de f .

Vamos agora ver uma propriedade de funções pares e ímpares. Quando somamos duas funções pares, o resultado será uma nova função par.

Por outro lado, quando somamos duas funções ímpares, temos uma nova função ímpar.

E, finalmente, se somamos uma função par e uma ímpar, teremos uma função que não é par, nem ímpar.

Com estes conceitos em mente, vamos analisar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. Tudo bem?

Passo 2

Temos a função:

f x = x 3 - 2 x

Podemos reescrevê-la como uma soma de funções:

f x = g x + h x ,

Em que

g x = x 3

h x = - 2 x

Vamos analisar as funções g ( x ) e h ( x ) separadamente para ver se são pares ou ímpares.

g x = x 3

g - x = - x 3 = - x 3

Então

g x = - g ( - x )

E, portanto g ( x ) é ímpar.

Para h ( x ) :

h x = - 2 x

h - x = - 2 - x = 2 x

Assim,

h x = - h ( - x )

e, h ( x ) também é uma função ímpar.

Passo 3

Definimos a função f ( x ) como uma soma das funções g ( x ) e h ( x ) . Pela propriedade de soma de funções ímpares, se g ( x ) e h ( x ) são duas funções ímpares, a soma das duas também é uma função ímpar. Então, f ( x ) é ímpar.

Resposta

Ímpar.

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