Enunciado

Em cada um dos problemas de 26 a 33, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t → ∞ . Se esse comportamento depender do valor inicial de y   e m   t   =   0 , descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de t , além de y ; portanto,suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto

y ' =   2 y + t

Passo 1

Campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma

d y d t = f t , y

Em que f é uma função dada de duas variáveis, t   e   y , algumas vezes chamada de função taxa. Um campo de direções pode ser constuido calculando f em cada ponto de uma malha retangular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função f naquele ponto.

Um campo de direções fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.

Passo 2

Agora, vamos caluclar para alguns pontos aleatórios e depois plotar o nosso campo

De modo que nosso gráfico tem a seguinte cara

Passo 3

Observando o gráfico vemos que para t tendendo a infinito y pode tender a ∞   o u -   ∞ ,   pois, vai depender do se valor inicial

Resposta

y   →   ∞   o u -   ∞   d e p e n d e n d o   d o   v a l o r   i n i c i a l

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Mostre que y = 2 3 e x + e - 2 x é uma solução da equação diferencial y ' + 2 y = 2 e x
Verifique se y =- t cos ⁡ t- t é uma solução do problema de valor inicial t d y d t =y + t 2 sin ⁡ t, y π = 0
Differential equations have been used extensively in the study of drug dissolution for patients given oral medications. One such equation is the Weibull equation for the concentration C T of the drug:
Use o Campo de Direções III acima para esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas
Use o Campo de Direções I acima para esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas