Enunciado

Em cada um dos problemas de 26 a 33, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t → ∞ . Se esse comportamento depender do valor inicial de y   e m   t   =   0 , descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de t , além de y ; portanto,suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto

y ' =   - 2 - y + t

Passo 1

Campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma

d y d t = f t , y

Em que f é uma função dada de duas variáveis, t   e   y , algumas vezes chamada de função taxa. Um campo de direções pode ser constuido calculando f em cada ponto de uma malha retangular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função f naquele ponto.

Um campo de direções fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.

Passo 2

Agora, vamos caluclar para alguns pontos aleatórios e depois plotar o nosso campo

De modo que nosso gráfico tem a seguinte cara

Em uma escala maior veríamos tal gráfico

Passo 3

Portanto, ao observarmos o gráfico, ele tende assintoticamante a t-3 quando t tende ao infinito.

Resposta

t - 3   q u a n d o   t → ∞

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Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I-IV). Dê razões para sua resposta. y ' = y 2 - x 2
Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I-IV). Dê razões para sua resposta. y ' = y 3 - x 3
Use o campo de direções III para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. Então, plote a curva e a(s) tangente(s). x = s e nt ,y = s e n( t + s e nt ) , 0 ,0
Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. Então, plote a curva e a(s) tangente(s). x = 2s e n2 t ,y = 2s e nt , 3 ,1