Enunciado

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Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)

31 . d y d t   =   ( Γ   c o s t   +   T ) y   –   y 3 , na qual Γ e T são constantes. Essa equação também aparece no estudo da estabilidade do fluxo de fluidos

Passo 1

Antes de começarmos tenho que dizer que resolver as equações de bernoulli tem um grau maior de dificuldade que as equação separáveis, se não estiver acostumado com o método de resolução temos uma seção incrível de teoria no nosso site 😉. Bem uma equação de bernoulli tem o seguinte formato

y ' + p t y = q t y n

E para resolver vamos usar o método do termo integrante!!! Em geral a equação solução tem a seguinte cara

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é

I t = e ∫ P t d t

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 2

NO exercício 27, descobrimos como manipular as equações de Bernoulli e deixar com uma aparência mais amistosa, com o seguinte formato

v ' + p v 1 - n = q 1 - n

Onde

v = y 1 - n

v ' = 1 - n y n ⋅ y '

E podemos agora resolver via Método do Termo Integrante. : )

Passo 3

Vamos pegar a equação do enunciado e manipular ela um pouco

d y d t   =   Γ   c o s t   +   T y   –   y 3

y ' -   Γ   c o s t   +   T y   =   - y 3

Agora transformando y → v , lembrando que neste caso n = 3

v ' - Γ   c o s t   +   T 1 - 3 v =   - 1 1 - 3

v ' + 2 Γ   c o s t   +   T v =   2

Passo 4

Agora já temos tudo para integrar, vamos aplicar nossa formula do Termo Integrante

v = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Vamos calcular primeiro o termo integrante

I t =   e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t

I t =   e 2 Γ s i n t + T t  

Passo 5

Agora vamos calcular nossa função V

v = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

v = 1 e 2 Γ s i n t + T t   ∫ 2 e 2 Γ s i n t + T t   d t + C

v = 1 e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t ∫ e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t ⋅ 2   d t + C

Infelizmente não temos uma solução analítica dessa função, então o máximo que podemos fazer é voltar de v → y

v = y 1 - n

y = 1 e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t ∫ e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t ⋅ 2   d t + C 1 1 - n

Como temos n = 3

y = 1 e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t ∫ e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t ⋅ 2   d t + C - 1 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = 1 e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t ∫ e ∫ 2 Γ   c o s t   +   T   d t ⋅ 2   d t + C - 1 2

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