Enunciado

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Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)

29 .   y '   =   r y   –   k y 2 ,   r   >   0   e   k   >   0 . Essa equação é importante em dinâmica populacional e é discutida em detalhes na Seção 2.5.

Passo 1

Antes de começarmos tenho que dizer que resolver as equações de bernoulli tem um grau maior de dificuldade que as equação separáveis, se não estiver acostumado com o método de resolução temos uma seção incrível de teoria no nosso site 😉. Bem uma equação de bernoulli tem o seguinte formato

y ' + p t y = q t y n

E para resolver vamos usar o método do termo integrante!!! Em geral a equação solução tem a seguinte cara

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é

I t = e ∫ P t d t

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 2

NO exercício 27, descobrimos como manipular as equações de Bernoulli e deixar com uma aparência mais amistosa, com o seguinte formato

v ' + p v 1 - n = q 1 - n

Onde

v = y 1 - n

v ' = 1 - n y n ⋅ y '

E podemos agora resolver via Método do Termo Integrante. : )

Passo 3

Vamos pegar a equação do enunciado e manipular ela um pouco

y ' =   r y   –   k y 2

y ' - r y = - k y 2

Agora transformando y → v , lembrando que neste caso n = 2

v ' - r v 1 - 2 =   - k ( 1 - 2 )

v ' + r v = k

Passo 4

Agora já temos tudo para integrar, vamos aplicar nossa formula do Termo Integrante

v = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

v = 1 e ∫ r   d t ∫ e ∫ r   d t ⋅ k   d t + C

Como essa é uma equação genérica, não vamos conseguir avançar muito a partir do que temos. Podemos apenas agora voltar de v →   y

v = y 1 - n

y = 1 e ∫ r   d t ∫ e ∫ r   d t ⋅ k   d t + C 1 1 - n

Como n = 2

y = 1 e ∫ r   d t ∫ e ∫ r   d t ⋅ k   d t + C - 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = 1 e ∫ r   d t ∫ e ∫ r   d t ⋅ k   d t + C - 1

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