Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 32,resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicia,l encontre,também, a solução que satisfaz.

t d y d t + t y = 1 - y ,           y 1 = 0

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

d y d t + t + 1 t y = 1 t

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + t + 1 t μ t   y = μ t t

De modo que

d μ t d t = t + 1 t μ t   ⟹     d μ t μ t = t + 1 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = t + 1 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ t + 1 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = t + ln ⁡ t   ⟹   μ t = t e t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + t + 1 t μ t   y = μ t t ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t t   ⟹   d   μ t   y =   μ t t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ t e t y =   ∫ t e t t d t = e t + C

y   = 1 + C e - t t

y 1 =   0 ⟹ C =   - e

y ( t )   =   1 - e 1 - t t

Resposta

y ( t )   =   1 - e 1 - t t

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