Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 32,resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicia,l encontre,também, a solução que satisfaz.

d y d t = t 3 - 2 y t

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

t y ' + 2 y = t 3        

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + 2 t μ t   y = μ t t 2

De modo que

d μ t d t = 2 t μ t   ⟹     d μ t μ t = 2 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 2 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ 2 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = ln ⁡ t 2   ⟹   μ t = t 2

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + 2 t μ t   y = μ t t 2 ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   t 2   ⟹   d   μ t   y =   μ t   t 2 d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ t 2 y =   ∫ t 2 t 2 d t = t 5 5 + C

y   = t 3 5 + C t 2

Resposta

y   = t 3 5 + C t 2

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