x \* y' = y + x \* e^(y/x)

Passo 1

Esse é o típico exercício que precisamos de uma fator integrante para resolve-lo, sem precisar verificar se a equação é exata. Confesse, já vimos esse tipo de problema antes, não? Se não recorda, de uma olhada nos problemas 8, 12, 18 e 23. Entretanto precisamos tomar um pouco mais de cuidado, pois não é um problema totalmente simples e precisa de um cuidado um pouco diferente.

Passo 2

Seja u x = y / x , o que significa que y = u x → y ' = u ' x + u , assim vamos substituir e encontrar

y ' - y x = e y x → u ' x + u - u = e u → u ' x = e u

E agora chegamos em uma equação separável e agora sabemos resolver

e - u d u = d x x → - e - u = ln ⁡ x + C

Mas não podemos esquecer quem é nosso u , assim temos que

- e - y x = ln ⁡ x + C

Resposta

e - y x + ln ⁡ x = C

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