Enunciado

Em cada um dos problemas de 34 a 37, construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando t → ∞ . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.

Todas as soluções se aproximam da curva y = 4 - t 2 quando t → ∞ .

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos tentar supor equações diferenciais para cada condição dada e depois resolve-lás usando o melhor método que pensarmos. Vamos resolver!!

Passo 2

Queremos que nossa equação seja assintótica à 4 - t 2 quando t → ∞ . Ou seja, queremos que g t = 4 - t 2 - 2 t . Assim, vamos supor a seguinte equação diferencial:

y ' + y = 4 - t 2 - 2 t

Resolvendo ela pelo fator integrante, temos que

μ t = e ∫ p t d t = e t

Multiplicando de ambos os lados da nossa equação por μ t , chegaremos em:

e t ⋅ y ' + y = ( 4 - t 2 - 2 t ) ⋅ e t

e t ⋅ y ' = ( 4 - t 2 - 2 t ) ⋅ e t

Integrando de ambos os lados, temos que:

e t ⋅ y = 4 ⋅ e t - t 2 ⋅ e t - 2 e t t - e t - 2 e t t - e t + C

y = 4 - t 2 + C ⋅ e - t

Quando t → ∞ , teremos que todas as soluções serão assintóticas a y = 4 - t 2

Resposta

y ' + y = 4 - t 2 - 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 23a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume grandes valores? O comportamento depende da
Em cada um dos problemas de 24 a 26a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume grandes valores? O comportamento depende da
Mostre que, se aeλ são constantes positivas e se b é um número real arbitrário, então toda solução da equação y ' + a y = b e - λ t Tem a propriedade de que y → 0q u a n d ot → ∞ .
Mostre que todas as soluções de 2 y ' + t y = 2 tendem a um limite quando t→∞ , encontre esse limite
Considere o problema de valor inicial y ' + 2 3 y = 1 - 1 2 t , y 0 = y 0 . Encontre o valor de y 0 para o qual a solução toca, mas não cruza o eixo dos t .