Enunciado

Mostre que todas as soluções de 2 y ' + t y = 2 tendem a um limite quando t   →   ∞ , encontre esse limite

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Outra coisa que pode te ajudar nesse problema é usar a dica do livro, de olhar a equação (41). Lá também tem a resolução dessa EDO. Mas vamos repetir o passo a passo aqui!

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

  2 y ' + t y = 2          

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + t 2 μ t   y = μ t

De modo que

d μ t d t = t 2 μ t   ⟹     d μ t μ t = t 2 d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = t 2 d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ t 2 d t   ⟹   ln ⁡ μ t = t 2 4   ⟹   μ t = e t 2 4

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + t 2 μ t   y = μ t   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   ⟹   d   μ t   y =   μ t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ e t 2 4 y =   ∫ e t 2 4   d t

E, assim como o livro nos diz, essa não é uma integral resolvível haha. Então deixamos ela como:

e t 2 4 y =   ∫ e t 2 4   d t + c

O próximo passo dele é escolher um limite inferior sendo t = 0 :

e t 2 4 y =   ∫ 0 t e s 2 4   d s + c

Dessa forma, a solução geral é:

y = e - t 2 4 ∫ 0 t e s 2 4   d s + c e - t 2 4

Passo 3

Beleza, até aqui, tem tudo no livro. Agora, vamos avaliar quando t   →   ∞ . Nesse momento, temos o limite:

lim t → ∞ ⁡ e - t 2 4 ∫ 0 t e s 2 4   d s + c e - t 2 4

Vamos usar as propriedades do limite:

lim t → ∞ ⁡ e - t 2 4 ∫ 0 t e s 2 4   d s + lim t → ∞ ⁡ c e - t 2 4

Dessa forma, temos que o limite da direita vai para 0 , beleza? Já que:

lim t → ∞ ⁡ c e - t 2 4 = lim t → ∞ ⁡ c e t 2 4

E quando t vai para infinito, o denominador fica muuuuito maior que c , independente do seu valor, levando o limite para 0 . Agora, vamos ver o outro limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e s 2 4   d s e t 2 4

Quando t tendo ao infinito, você concorda comigo que essa integral tende ao infinito também? Isso porque, qualquer que seja o valor dessa integral, pegaremos ele no infinito! Então:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e s 2 4   d s e t 2 4 = ∞ ∞

Que é uma indeterminação hehe e podemos resolver com L’Hôspital! Vamos derivar em cima e embaixo, lembrar do teorema fundamental do cálculo que diz:

d ∫ a t f x d x d t = f ( t )

Dessa forma:

lim t → ∞ ⁡ e t 2 4 t 2 e t 2 4 = lim t → ∞ ⁡ 2 t

Agora sim! Podemos dizer que:

lim t → ∞ ⁡ 2 t = 0

Beleza?? Só isso!!

Resposta

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Em cada um dos problemas de 1 a 32,resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicia,l encontre,também, a solução que satisfaz. t d y d t + t y = 1 - y ,y 1 = 0
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