Enunciado

Mostre que, se a   e   λ são constantes positivas e se b é um número real arbitrário, então toda solução da equação

y ' + a y = b e - λ t

Tem a propriedade de que y → 0   q u a n d o   t → ∞ .

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

  y ' + a y = b e - λ t          

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + a μ t   y = μ t b e - λ t  

De modo que

d μ t d t = a μ t   ⟹     d μ t μ t = a d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = a d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ a d t   ⟹   ln ⁡ μ t = a t   ⟹   μ t = e a t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + a μ t   y = μ t b e - λ t     ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t b e - λ t   ⟹   d   μ t   y = μ t b e - λ t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ e a t y =   ∫ e a t b e - λ t d t = b e a - λ t a - λ + C

y   = b e - λ t a - λ + C e - a t

Passo 3

Portanto para t   →   ∞   ⟹   C e - a t → 0   e   b e - λ t a - λ → 0   ,   l o g o   y → 0

Resposta

y   = b e - λ t a - λ + C e - a t

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