Enunciado

Em cada um dos Problemas de 36 a 39, use o método do Problema 35 para resolver a equação diferencial dada.

2 y ' ' + 3 y ' + y = t 2 + 3 sen ⁡ t

Passo 1

Primeiro, encontraremos a solução para a equação característica:

2 y ' ' + 3 y ' + y = t 2 + 3 sen ⁡ t

Analisando a parte homogênea temos:

2 y ' ' + 3 y ' + y = 0

Reescrevendo:

2 r 2 + 3 r + 1 = 0

( 2 r + 1 ) ( r + 1 )

r 1 = - 1

r 2 = - 1 2

Podemos escrever a solução homogênea como:

y c = c 1 e - t + c 2 e - t 2

Passo 2

De acordo com o problema 35, a equação na forma y ' ' + b y ' + c y = g ( t ) pode ser reescrita como D - r 1 D - r 2 y = g ( t ) , se r 1 + r 2 = - b e r 1 r 2 = c .

A solução da equação pode ser resolvida com duas equações de primeira ordem. Escrevendo a equação no padrão, temos que:

y ' ' + 3 2 y ' + 1 2 y = 1 2 t 2 + 3 2 sen ⁡ t

D - r 1 u = g t ,       D - r 2 y = u ( t )

Se b = 3 2 ,   c = 1 2   g t = 1 2 t 2 + 3 2 sen ⁡ t

Então: r 1 + r 2 = - 3 2 ,   r 1 r 2 = 1 2

Resolvendo as duas equações simultaneamente, podemos dizer que :

r 1 = - 1 ,   r 2 = 1 2

Agora, vamos resolver primeiro a equação de primeira ordem:

D - r 1 u = g t

D + 1 u = 1 2 t 2 + 3 2 sen ⁡ t

d u d t + u = 1 2 t 2 + 3 2 sen ⁡ t

Integrando podemos ter que, onde p t = 1 que é uma das raizes :

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ d t = e t

Multiplicando a equação pelo fator integrante.

d u d t e t + u e t = 1 2 t 2 e t + 3 2 e t sen ⁡ t

Integrando de ambos os lados:

u e t = 1 4 e t ( 2 t 2 - 4 t + 3 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 4 )

u = 1 4 2 t 2 - 4 t + 3 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 4

Passo 3

Agora, resolvemos a outra equação:

D - r 2 y = u t

D + 1 2 y = 1 4 ( 2 t 2 - 4 t + 3 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 4 )

d y d t + 1 2 y = 1 4 ( 2 t 2 - 4 t + 3 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 4 )

Onde p t = 1 2 que é a outra raiz, resolvendo a equação pelo fator integrante :

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ 1 2 d t = e t 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante, temos:

d y d t e t 2 + 1 2 y e t 2 = 1 4 e t 2 ( 2 t 2 - 4 t + 3 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 4 )

y e t 2 ' = 1 4 e t 2 ( 2 t 2 - 4 t + 3 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 4 )

Integrando dos dois lados

y e t 2 = e t 2 t 2 - 6 t + 14 - 3 10 sen ⁡ t - 9 10 cos ⁡ t

Y t = t 2 - 6 t + 14 - 3 10 sen ⁡ t - 9 10 cos ⁡ t

A solução y = y c + Y ( t ) :

y = c 1 e - t + c 2 e - t 2 + t 2 - 6 t + 14 - 3 10 sen ⁡ t - 9 10 cos ⁡ t

Resposta

y = c 1 e - t + c 2 e - t 2 + t 2 - 6 t + 14 - 3 10 sen ⁡ t - 9 10 cos ⁡ t

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