Enunciado

Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

14. y ' ' + 4 y = x 2 - 3 s e n   2 x

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos os exercícios dessa seção 4.4 devemos seguir uma espécie de passo a passo, beleza? A equação que nos é dada tem o seguinte formato:

a y ' ' + b y ' + c y = g x

A solução geral desse tipo de equação diferencial, que é a de coeficientes indeterminados, tem essa cara aqui ó:

y = y p + y c

Mas o que são esses sub-indíces aí? Então, y p é uma solução particular e y c é uma solução complementar. Para encontrarmos y c basta reduzirmos a equação diferencial a uma equação quadrática para encontrar as raízes. Uma vez que encontramos as raízes teremos três resultados possíveis, assim como demonstrado e discutido na seção em questão.

Agora para y p não existe uma solução pronta ou algo do tipo, pois como se trata de uma solução particular, então teremos que analisar cada função de g x que o problema der, já que serão sempre distintas para cada questão.

Mas agora chega de conversa, né? Vamos colocar essa discussão em prática para vermos como funciona esse trem todo aí!

Passo 2

Nossa equação é essa aqui:

y ' ' + 4 y = x 2 - 3 s e n   2 x

Para encontrarmos y c vamos fazer: y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , ok? Logo:

m 2 + 4 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 0 ± 0 - 4 . 1.4 2 . 1 = ± - 16 2

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = 0 + 2 i

m 2 = a - b i = 0 - 2 i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

y c = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x

Topzera!

Passo 3

Da nossa equação diferencial tiramos que:

g x = x 2 - 3 s e n   2 x

Aqui temos que prestar bastante atenção, galera! Note que g x é uma função de seno multiplicada por uma função quadrática, e sabemos que a derivada dessa função resulta em c o s   2 x , depois em sen ⁡ 2 x novamente e assim sucessivamente. Sendo assim, vamos supor uma solução particular que tenha a seguinte forma:

y p = A x 2 + B x + C x . cos ⁡ 2 x + D x 2 + E x + F x . s e n   2 x

y p = A x 3 + B x 2 + C x cos ⁡ 2 x + D x 3 + E x 2 + F x s e n   2 x

E então devemos determinar coeficientes específicos A , B , C , D , E e F para que y p seja uma solução particular da nossa equação. Derivando, teremos:

y p ' = 3 A x 2 + 2 B x + C . cos ⁡ 2 x - 2 A x 3 + B x 2 + C x . s e n   2 x + 3 D x 2 + 2 E x + F . s e n   2 x

+ 2 D x 3 + E x 2 + F x . cos ⁡ 2 x

Sim, teremos que derivar novamente! Derivando:

y p ' ' = 6 A x + 2 B . cos ⁡ 2 x - 2 3 A x 2 + 2 B x + C . s e n   2 x

- 2 3 A x 2 + 2 B x + C . s e n   2 x + 2 A x 3 + B x 2 + C x . cos ⁡ 2 x

+ 6 D x + 2 E . s e n   2 x + 2 3 D x 2 + 2 E x + F . cos ⁡ 2 x

+ 2 3 D x 2 + 2 E x + F . cos ⁡ 2 x - 2 D x 3 + E x 2 + F x . s e n   2 x

Substituindo na nossa equação diferencial, teremos:

y ' ' + 4 y = x 2 - 3 s e n   2 x

6 A x + 2 B . cos ⁡ 2 x - 2 3 A x 2 + 2 B x + C . s e n   2 x

- 2 3 A x 2 + 2 B x + C . s e n   2 x + 2 A x 3 + B x 2 + C x . cos ⁡ 2 x

+ 6 D x + 2 E . s e n   2 x + 2 3 D x 2 + 2 E x + F . cos ⁡ 2 x

+ 2 3 D x 2 + 2 E x + F . cos ⁡ 2 x - 2 D x 3 + E x 2 + F x . s e n   2 x

+ 4 A x 3 + B x 2 + C x cos ⁡ 2 x + D x 3 + E x 2 + F x s e n   2 x = x 2 - 3 s e n   2 x

Passo 4

Como temos uma identidade podemos tirar o seguinte:

2 B + 4 F = 0 6 A + 8 E = 0 12 D = 0 - 4 C + 2 E = - 3 - 8 D + 6 D = 0 - 12 A = 1

Da última equação tiramos que:

A = - 1 12

Substituindo na segunda equação, tiramos que:

6 . - 1 12 + 8 E = 0

E = 1 16

Substituindo na quarta equação:

- 4 C + 1 8 = - 3

C = 25 32

Da quinta equação tiramos que:

D = 0

E, por fim, tiramos:

B = F = 0

Agora que determinamos A , B , C , D , E e F , temos que y p será:

y p = A x 3 + B x 2 + C x cos ⁡ 2 x + D x 3 + E x 2 + F x s e n   2 x

y p = - 1 12 x 3 + 25 32 x . cos ⁡ 2 x + 1 16 x 2 . s e n   2 x

Dessa forma, temos que nossa solução geral será:

y = y c + y p

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + - 1 12 x 3 + 25 32 x . cos ⁡ 2 x + 1 16 x 2 . s e n   2 x

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + - 1 12 x 3 + 25 32 x . cos ⁡ 2 x + 1 16 x 2 . s e n   2 x

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