Enunciado

Nos problemas 31 a 34, resolva o problema de valor de contorno dado determinando a função de Green apropriada a expanssando a solução como uma integral definida. Use as equações de (i) a (iv) do problema 30.

32. - y ' ' = f x ,   y 0 = 0 ,   y 1 + y ' ( 1 ) = 0 .

Passo 1

A solução geral da EDO é dado por

y = c 1 + c 2 x

Encontramos então que y 1 x = x satisfaz y 0 = 0 . Impondo as condições de contorno y 1 + y ' 1 = 0 ,   devemos ter

c 1 + 2 c 2 = 0

Logo, escolhemos y 2 x = - 2 + x . O Wronskiano dessa solução é dado por

W y 1 , y 2 = 2

Baseado no problema 30, com p x = 1 ,   a função de green é dada por

G x , s = s x - 2 2 ,   0 ≤ s ≤ x x s - 2 2 ,   x ≤ s ≤ 1 .

Passo 2

Então com isso vemos a solução do PVC nos é dada por

ϕ x = 1 2 ∫ 0 x s x - 2 f s d s + 1 2 ∫ x 1 x s - 2 f s d s

Resposta

G x , s = s x - 2 2 ,   0 ≤ s ≤ x x s - 2 2 ,   x ≤ s ≤ 1 .

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