Enunciado

Em cada um dos problemas de 39 a 42, use o método do Problema 38 para resolver a equação diferencial dada.

y ' - 2 y =   t 2 e 2 t

Passo 1

É identificarmos que a EDO acima é de primeira ordem, pois estamos lidando com a primeira derivada da função y em função de t.

Após isso, vamos identificar quais são as funções p ( t ) (quem multiplica o y) e g ( t ) (quem está após a igualdade sem multiplicar nenhuma função de y).

p t = - 2 ;     g t = t 2 e 2 t  

Passo 2

Antes disso, para encontrar a SF (solução final) precisamos achar o fator integrante u ( t ) , que é dado da seguinte forma:

u t =   e ∫ p t   d t   , u t =   e ∫ - 2   d t =   e - 2 t

Agora, para encontrar a equação final contendo a variável y em função de t basta seguir esse bizu abaixo:

y =   A +   ∫ u t g t d t   u ( t ) , em que A é uma constante.

Mas, sabemos que u t =   e 2 t , assim, substituímos na equação final descrita acima:

y =   A +   ∫ e - 2 t t 2 e 2 t d t   e - 2 t

Na integral, e - 2 t e e 2 t vão se cortar:

y =   A +   ∫ t 2 d t   e - 2 t

Passo 3

Agora, para deixar a SF mais simplificada, basta calcular a integral abaixo, assim teremos:

y =   A +   ∫ t 2 d t   e - 2 t

y =   A + t 3 3     e - 2 t

y = A + t 3 3 e 2 t

Resposta

y =   A + t 3 3 e 2 t

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