Enunciado

Em cada um dos problemas de 39 a 42, use o método do Problema 38 para resolver a equação diferencial dada.

t y ' - 2 y = s e n   t , t >0

Passo 1

É identificarmos que a EDO acima é de primeira ordem, pois estamos lidando com a primeira derivada da função y em função de t.

Após isso, vamos identificar quais são as funções p ( t ) (quem multiplica o y) e g ( t ) (quem está após a igualdade sem multiplicar nenhuma função de y). Porém, para identificar essas funções precisamos deixar que o fator y’ seja multiplicado por 1. Assim, vamos dividir toda a equação por t.

Aí teremos:

y ' - 2 t y = s e n   t t  

p t = - 2 t ;     g t =   s e n   t t ;  

Passo 2

Antes disso, para encontrar a SF (solução final) precisamos achar o fator integrante y ( t ) , que é dado da seguinte forma:

y t =   A t e ∫ p t   d t   , u t =   A t e ∫ - 2 t   d t = A t e - 2  ln ⁡ t = A t t - 2

Substituindo na EDO:

A ' t t - 2 - 2 A t t - 3 + 2 A t t - 3 = sen ⁡ t t

A ' t = t sen ⁡ t

Com isso:

A t = sen ⁡ t - t cos ⁡ t + C

Opa, substituindo esse valor no fator integrante:

y t = A t t - 2

y t = sen ⁡ t - t cos ⁡ t + C t 2

Onde C é uma constante. Beleza??

Resposta

y =   sen ⁡ t - t cos ⁡ t + C t 2

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