Enunciado

Considere o sistema

x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x

f) Forme a matriz T com o autovetor ξ 1 na primeira coluna e os autovetores generalizados η e ζ na segunda e terceira colunas. Depois, encontre T – 1 e forme o produto J   =   T – 1 A T .   A matriz J é a forma canônica de Jordan de A .

Passo 1

Primeiramente vamos ilustrar a nossa matriz T :

T = 0 1 2 1 1 0 - 1 0 3

Passo 2

Agora que possuímos a matriz T , vamos encontrar sua inversa:

Sabemos que:

T ∙ T - 1 = I

0 1 2 1 1 0 - 1 0 3 ∙ a b c d e f g h i = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

d + 2 g 2 h + e f + 2 i a + d b + e c + f - a + 3 g - b + 3 h - c + 3 i = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Temos que a matriz inversa fica:

T - 1 = - 3 3 2 3 - 2 - 2 - 1 1 1

Passo 3

Possuímos a matriz T sua inversa e a matriz A vamos executar este produto:

J = T - 1 A T

J = - 3 3 2 3 - 2 - 2 - 1 1 1 ∙ 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 ∙ 0 1 2 1 1 0 - 1 0 3

Efetuando A ∙ T e depois A ∙ T ∙ T - 1 , temos:

J = - 3 3 2 3 - 2 - 2 - 1 1 1 ∙ 0 2 5 2 3 1 - 2 - 1 6

J = 2 1 0 0 2 1 0 0 2

Resposta

J = 2 1 0 0 2 1 0 0 2

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