Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.

1.

∑ n = 0 ∞ x - 3 n

Passo 1

Fala galera!!

Queremos encontrar o raio de convergência da seguinte série de potências:

∑ n = 0 ∞ x - 3 n

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

Passo 2

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 3

Temos que:

a n = x - 3 n

Então:

a n + 1 = x - 3 n + 1

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x - 3 n + 1 x - 3 n = lim n → ∞ ⁡ x - 3 x - 3 n x - 3 n = lim n → ∞ ⁡ x - 3 = x - 3

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x - 3

Passo 4

Assim, a série de potências converge absolutamente para x - 3 < 1 . Ou seja:

- 1 < x - 3 < 1

2 < x < 4

A série de potências diverge absolutamente para x - 3 > 1 .

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = 1 .

Resposta

ρ = 1

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