Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.

6.

∑ n = 1 ∞ x - x o n n

Passo 1

Fala galera!!

Queremos encontrar o raio de convergência da seguinte série de potências:

∑ n = 1 ∞ x - x o n n

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

Passo 2

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 3

Temos que:

a n = x - x o n n

Então:

a n + 1 = x - x o n + 1 n + 1

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

= lim n → ∞ ⁡ x - x o n + 1 n + 1 x - x o n n

= lim n → ∞ ⁡ x - x o n + 1 n + 1 ⋅ n x - x o n

= lim n → ∞ ⁡ x - x o ⋅ x - x o n + 1 n ⋅ 1 + 1 n ⋅ n x - x o n

= lim n → ∞ ⁡ x - x o 1 + 1 n ⋅ 1 1

= lim n → ∞ ⁡ x - x o 1 + 1 n

= x - x o lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n

= x - x o 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n

= x - x o 1 1

= x - x o

Passo 4

Assim, a série de potências converge absolutamente para x - x o < 1 . Ou seja:

x - x o < 1

- 1 < x - x o < 1

- 1 + x o < x < 1 + x o

A série de potências diverge absolutamente para x - x o > 1 .

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = 1 .

Resposta

ρ = 1

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