Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ ( - 3 ) n n n x n

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = ( - 3 ) n n 3 2 x n

Então, fazemos

a n + 1 = ( - 3 ) n + 1   n + 1 3 2 x n + 1

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1   n + 1 3 2 x n + 1 ⋅ n 3 2 - 3 n x n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n n n + 1 3 2 = 3 x l i m n → ∞ n n + 1 n 3 2 = 3 x 1 = 3 | x |

Passo 3

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 1 ∞ ( - 3 ) n n n x n

Converge quando

3 x < 1   ⇔ x = 1 3

Passo 4

Então, o raio de convergência

R = 1 3

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

Quando

x = 1 3

A série converge pelo teste das séries alternadas.

Quando

x = - 1 3

A série converge, pela p-série, com p = 3 2 > 1

Então, o intervalo de convergência é:

I = - 1 3 , 1 3

Resposta

R = 1 3

I = - 1 3 , 1 3

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